Grundlagen

Eulersche Knickfälle

Produkte

Cauchy

Differentialrechnung 

Lineare Abbildungen

Taylorreihe/Taylorpolynom

Konvergenz rekursiver nichtmonotoner Zahlenfolgen

dualraum

Jordan Normal FOrm

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Vorlesung Technische Mechanik

<p>\begin{align}<br />S_{K}=4,1 <br />\end{align}</p>

<p>Normalkraft im Träger <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" B D " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.59ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1587 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3230-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path><path id="MJX-3230-TEX-I-1D437" d="M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-3230-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(759,0)"><use data-c="1D437" xlink:href="#MJX-3230-TEX-I-1D437"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Die Durchbiegung des Trägers \( A C \) im Punkt \( B \) muss mit der Längenänderung des Trägers \( B D \) übereinstimmen.</p>


<p>Die Durchbiegung des Trägers <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" A C " style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.416ex" height="1.67ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 1510 738" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3231-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-3231-TEX-I-1D436" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-3231-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(750,0)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJX-3231-TEX-I-1D436"></use></g></g></g></svg></mjx-container> im Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" B " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3232-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-3232-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container> muss mit der Längenänderung des Trägers <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" B D " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.59ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1587 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3233-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path><path id="MJX-3233-TEX-I-1D437" d="M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-3233-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(759,0)"><use data-c="1D437" xlink:href="#MJX-3233-TEX-I-1D437"></use></g></g></g></svg></mjx-container> übereinstimmen.</p>


<p>Durchbiegung des Trägers \( A C \) :</p>


<p>Durchbiegung des Trägers <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" A C " style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.416ex" height="1.67ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 1510 738" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3234-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-3234-TEX-I-1D436" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-3234-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(750,0)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJX-3234-TEX-I-1D436"></use></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>


<p>\[E I_{A C} \frac{d^{4} w}{d x_{1}^{4}}=q_{0}\]</p>
<p>\[E I_{A C} \frac{d^{3} w}{d x_{1}^{3}}=-Q_{z}\left(x_{1}\right)=q_{0} x_{1}+N_{B D}\left(\frac{x_{1}}{a}-1\right)^{0}+c_{1}\]</p>
<p>\[E I_{A C} \frac{d^{2} w}{d x_{1}^{2}}=\frac{1}{2} q_{0} x_{1}^{2}+N_{B D} a\left(\frac{x_{1}}{a}-1\right)+c_{1} x_{1}+c_{2}\]</p>
<p>\[E I_{A C} \frac{d w}{d x_{1}}=\frac{1}{6} q_{0} x_{1}^{3}+\frac{1}{2} N_{B D} a^{2}\left(\frac{x_{1}}{a}-1\right)^{2}+\frac{1}{2} c_{1} x_{1}^{2}+c_{2} x_{1}+c_{3}\]</p>
<p>\[E I_{A C} w=\frac{1}{24} q_{0} x_{1}^{4}+\frac{1}{6} N_{B D} a^{3}\left(\frac{x_{1}}{a}-1\right)^{3}+\frac{1}{6} c_{1} x_{1}^{3}+\frac{1}{2} c_{2} x_{1}^{2}+c_{3} x_{1}+c_{4}\]</p>


<p>\[\begin{aligned}<br />\frac{d w}{d x_{1}}(0)=0 &amp; \quad \Rightarrow c_{3}=0 \\\\<br />w(0)=0 &amp; \quad \Rightarrow c_{4}=0 \\\\<br />\frac{d w}{d x_{1}}(2 a)=0: &amp; \frac{8}{6} q_{0} a^{3}+\frac{1}{2} N_{B D} a^{2}+\frac{4}{2} c_{1} a^{2}+2 c_{2} a=0 \\<br />&amp; \Rightarrow 12 c_{1} a+12 c_{2}=-3 N_{B D} a-8 q_{0} a^{2}\quad \quad \quad \quad (1) \\\\<br />w(2 a) =0: &amp; \frac{16}{24} q_{0} a^{4}+\frac{1}{6} N_{B D} a^{3}+\frac{8}{6} c_{1} a^{3}+\frac{4}{2} c_{2} a^{2}=0 \\<br />&amp; \Rightarrow 8 c_{1} a+12 c_{2}=-N_{B D} a-4 q_{0} a^{2} \quad \quad \quad \quad \quad (2)<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>\[(1) - (2): \quad 4 c_{1} a=-2 N_{B D} a-4 q_{0} a^{2} \quad \Rightarrow c_{1}=-\frac{1}{2} N_{B D}-q_{0} a \]</p>


<p>\[2(1)-3(2): \quad -12 c_{2}=-3 N_{B D} a-4 q_{0} a^{2} \quad \Rightarrow c_{2}=\frac{1}{4} N_{B D} a+\frac{1}{3} q_{0} a^{2}<br />\]</p>


<p>Für die Verschiebung in der Mitte ergibt sich:</p>


<p>\begin{align}<br />w_{B}&amp;=w(a)=\frac{1}{E I_{A C}}\left[\frac{q_{0} a^{4}}{24}-\frac{a^{3}}{6}\left(\frac{N_{B D}}{2}+q_{0} a\right)+\frac{a^{2}}{2}\left(\frac{N_{B D} a}{4}+\frac{q_{0} a^{2}}{3}\right)\right] \\\\<br />&amp;=\frac{a^{3}\left(q_{0} a+N_{B D}\right)}{24 E I_{A C}}<br />\end{align}</p>


<p>Längenänderung des Trägers \( B D \) :</p>


<p>Längenänderung des Trägers <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" B D " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.59ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1587 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3244-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path><path id="MJX-3244-TEX-I-1D437" d="M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-3244-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(759,0)"><use data-c="1D437" xlink:href="#MJX-3244-TEX-I-1D437"></use></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>


<p><img style="width: 138.875px; height: auto; float: right;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61dedbfeb225cddac22efa85.jpeg" alt="Abbildung" width="207" height="255" />\[\begin{align}<br />v_{B}=\Delta L_{B D}=\frac{a N_{B D}}{E A_{B D}} <br />\end{align}\]</p>


<p>Verträglichkeitsbedinqung \( w_{B}=-v_{B} \):</p>


<p>Verträglichkeitsbedinqung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" w_{B}=-v_{B} " style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.299ex" height="1.658ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -583 4551.9 733" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3246-TEX-I-1D464" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path><path id="MJX-3246-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path><path id="MJX-3246-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-3246-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-3246-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D464" xlink:href="#MJX-3246-TEX-I-1D464"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(749,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-3246-TEX-I-1D435"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1613.5,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-3246-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2669.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-3246-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3447.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-3246-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(518,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-3246-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align} <br />&amp;\frac{a^{3}\left(q_{0} a+N_{B D}\right)}{24 E I_{A C}}=-\frac{a N_{B D}}{E A_{B D}} \\\\<br />&amp;\Rightarrow \frac{q_{0} a^{3}}{I_{A C}}=-N_{B D}\left(\frac{24}{A_{B D}}+\frac{a^{2}}{I_{A C}}\right)=-\frac{N_{B D}}{I_{A C}}\left(24 \frac{I_{A C}}{A_{B D}}+a^{2}\right) \\\\ <br />&amp;\Rightarrow N_{B D}=-\frac{q_{0} a^{3}}{24 I_{A C} / A_{B D}+a^{2}} \end{align}</p>


<p>Da der Träger \( B D \) beidseitig gelenkig gelagert ist, liegt der zweite Eulersche Knickfall vor. Die Knicklänge ist gleich der Stablänge.</p>


<p>Da der Träger <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" B D " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.59ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1587 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3248-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path><path id="MJX-3248-TEX-I-1D437" d="M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-3248-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(759,0)"><use data-c="1D437" xlink:href="#MJX-3248-TEX-I-1D437"></use></g></g></g></svg></mjx-container> beidseitig gelenkig gelagert ist, liegt der zweite Eulersche Knickfall vor. Die Knicklänge ist gleich der Stablänge.</p>


<p>\begin{align}<br />F_{\text {krit }}=\frac{\pi^{2} E I_{B D}}{a^{2}} <br />\end{align}</p>


<p>Damit berechnet sich die Knicksicherheit zu</p>


<p>\[\begin{align}<br />S_{K}&amp;=\frac{\sigma_{k r i t}}{\left|\sigma_{B D}\right|}=\frac{\sigma_{k r i t} A_{B D}}{\left|\sigma_{B D}\right| A_{B D}} \\\\ <br />&amp;=\frac{F_{k r i t}}{\left|N_{B D}\right|}=\frac{\pi^{2} E I_{B D}}{a^{2}} \frac{24 I_{A C} / A_{B D}+a^{2}}{q_{0} a^{3}} \\\\<br />&amp;=\frac{\pi^{2} E I_{B D}}{q_{0} a^{3}}\left(\frac{24}{a^{2}} \frac{E I_{A C}}{E A_{B D}}+1\right) <br />\end{align}\]</p>


<p>\begin{align}<br />\frac{24}{a^{2}} \frac{E I_{A C}}{E A_{B D}}+1=\frac{24}{1000^{2}} \frac{4000}{2}+1=1,048 <br />\end{align}</p>


<p>\begin{align}<br />S_{K}=1,048 \pi^{2} \cdot \frac{2 \cdot 10^{10} \mathrm{Nmm}^{2}}{50 \mathrm{~N} / \mathrm{mm} \cdot 1000^{3} \mathrm{~mm}^{3}}=4,13 <br />\end{align}</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;">
<p>Der Träger \( A C \) (Biegesteifigkeit \( \left.E I_{A C}\right) \) ist an den Enden \( A \) und \( C \) fest eingespannt und wird durch die konstante Streckenlast \( q_{0} \) belastet. Im Punkt \( B \) ist der Träger \( B D \) (Dehnsteifigkeit \( E A_{B D} \), Biegesteifigkeit \( E I_{B D} \) ) gelenkig angeschlossen. Der Träger \( B D \) wird im Punkt \( D \) durch ein Festlager gehalten.<br /><br />Bestimmen Sie die Knicksicherheit des Trägers \( B D \).</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText"><img style="width: 100%;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/60336b790ae19f46f6cf8b78.png" alt="Abbildung" /></p>
</div>
</div>
<p><strong>Gegeben:</strong></p>
<p>\[\begin{align} <br />&amp;a=1 \mathrm{~m}, \ E I_{A C}=4 \cdot 10^{11} \mathrm{Nmm}^{2}, \ E I_{B D}=2 \cdot 10^{10} \mathrm{Nmm}^{2} \\ <br />&amp; E A_{B D}=2 \cdot 10^{8} \mathrm{~N}, \ q_{0}=50 \mathrm{~N} / \mathrm{mm} \end{align}\]</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Eulersche Knickfälle mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: