Grundlagen

Eulersche Knickfälle

Produkte

Cauchy

Differentialrechnung 

Lineare Abbildungen

Taylorreihe/Taylorpolynom

Konvergenz rekursiver nichtmonotoner Zahlenfolgen

dualraum

Jordan Normal FOrm

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Vorlesung Technische Mechanik

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\[ \sin (\alpha)=2 / \sqrt{5}, \ \cos (\alpha)=1 / \sqrt{5} \]</li>
<li>\[ N_{B D}=-9 \sqrt{5} q_{0} a / 25 \]</li>
<li>\[ S_{K}=\sqrt{5} \pi^{2} E I_{y} /\left(9 q_{0} a^{3}\right) \]</li>
</ol>

<p>\[\begin{align}<br />\tan (\alpha)=2: \cos (\alpha)&amp;=\frac{1}{\sqrt{1+2^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{5}} \\\\ \quad \sin (\alpha)&amp;=\tan (\alpha) \cos (\alpha)=\frac{2}{\sqrt{5}} <br />\end{align}\]</p>


<p>b) Normalkraft im Balken \( B D \)</p>


<p>b) Normalkraft im Balken <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" B D " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.59ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1587 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3942-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path><path id="MJX-3942-TEX-I-1D437" d="M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-3942-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(759,0)"><use data-c="1D437" xlink:href="#MJX-3942-TEX-I-1D437"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Balken <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" A B " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.414ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 1509 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3943-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-3943-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-3943-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(750,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-3943-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>


<p>\[w_{B 2}=\frac{N_{B D} \sin (\alpha)(2 a)^{3}}{3 E I_{y}}=\frac{16}{3 \sqrt{5}} \frac{N_{B D} a^{3}}{E I_{y}}\]</p>


<p><img style="width: 151.703px; height: auto; float: left;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61dee15051911bbf5b563ec5.jpeg" alt="Abbildung" width="154" height="257" /></p>
<p>\begin{align}<br />w_{D}&amp;=\frac{N_{B D} \cos (\alpha)(3 a)^{3}}{3 E I_{y}}\left(1-\frac{2}{3}\right)^{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \\\\<br />&amp;=\frac{3^{2} N_{B D} a^{3}}{\sqrt{5} E I_{y}} \frac{1}{3^{2}} \frac{4}{3^{2}}=\frac{4 N_{B D} a^{3}}{9 \sqrt{5} E I_{y}} <br />\end{align}</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />0&amp;=\Delta L_{B D}=-w_{D} \cos (-\alpha)+w_{B} \sin (-\alpha) \\<br />&amp;=-\frac{1}{\sqrt{5}}\left(w_{D}+2 w_{B}\right) \\\\<br />\Rightarrow \ &amp; w_{D}+2 w_{B}=0<br />\end{aligned}</p>


<p>Einsetzen für die Verschiebungen ergibt:</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />&amp;\frac{4 N_{B D} a^{3}}{9 \sqrt{5} E I_{y}}+4 \frac{q_{0} a^{4}}{E I_{y}}+\frac{32}{3 \sqrt{5}} \frac{N_{B D} a^{3}}{E I_{y}}=0 \\\\<br />&amp;\Rightarrow(4+3 \cdot 32) N_{B D}=-4 \cdot 9 \sqrt{5} q_{0} a \\<br />&amp;\Rightarrow 100 N_{B D}=-36 \sqrt{5} q_{0} a \\ &amp;\Rightarrow N_{B D}=-\frac{9}{25} \sqrt{5} q_{0} a<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>Zweiter Eulerscher Knickfall: \( L_{K}=L_{B D}=\sqrt{5} a \)</p>


<p>Zweiter Eulerscher Knickfall: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" L_{K}=L_{B D}=\sqrt{5} a " style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.71ex" height="2.488ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -949.5 7827.9 1099.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3949-TEX-I-1D43F" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path id="MJX-3949-TEX-I-1D43E" d="M285 628Q285 635 228 637Q205 637 198 638T191 647Q191 649 193 661Q199 681 203 682Q205 683 214 683H219Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q500 682 500 674Q500 669 497 660Q496 658 496 654T495 648T493 644T490 641T486 639T479 638T470 637T456 637Q416 636 405 634T387 623L306 305Q307 305 490 449T678 597Q692 611 692 620Q692 635 667 637Q651 637 651 648Q651 650 654 662T659 677Q662 682 676 682Q680 682 711 681T791 680Q814 680 839 681T869 682Q889 682 889 672Q889 650 881 642Q878 637 862 637Q787 632 726 586Q710 576 656 534T556 455L509 418L518 396Q527 374 546 329T581 244Q656 67 661 61Q663 59 666 57Q680 47 717 46H738Q744 38 744 37T741 19Q737 6 731 0H720Q680 3 625 3Q503 3 488 0H478Q472 6 472 9T474 27Q478 40 480 43T491 46H494Q544 46 544 71Q544 75 517 141T485 216L427 354L359 301L291 248L268 155Q245 63 245 58Q245 51 253 49T303 46H334Q340 37 340 35Q340 19 333 5Q328 0 317 0Q314 0 280 1T180 2Q118 2 85 2T49 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Z"></path><path id="MJX-3949-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 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data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43F" xlink:href="#MJX-3949-TEX-I-1D43F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(714,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43E" xlink:href="#MJX-3949-TEX-I-1D43E"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1670.4,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-3949-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2726.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43F" xlink:href="#MJX-3949-TEX-I-1D43F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(714,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-3949-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(759,0)"><use data-c="1D437" xlink:href="#MJX-3949-TEX-I-1D437"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4890.1,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-3949-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(5945.9,0)"><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="35" xlink:href="#MJX-3949-TEX-N-35"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,89.5)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-3949-TEX-N-221A"></use></g><rect width="500" height="60" x="853" y="829.5"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7298.9,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-3949-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\begin{align}<br />F_{k r i t}&amp;=\frac{\pi^{2} E I_{y}}{(\sqrt{5} a)^{2}}=\frac{\pi^{2} E I_{y}}{5 a^{2}} \\\\<br />S_{K}&amp;=\frac{F_{k r i t}}{\left|N_{B D}\right|}=\frac{\pi^{2} E I_{y}}{5 a^{2}} \frac{25}{9} \frac{1}{\sqrt{5} q_{0} a}=\frac{\sqrt{5}}{9} \frac{\pi^{2} E I_{y}}{q_{0} a^{3}}<br />\end{align}<br />\]</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;">
<p>Das abgebildete System besteht aus den Balken \( A B, B D \) und \( C E \). Der Balken \( A B \) ist im Punkt \( A \) fest eingespannt. Der Balken \( C E \) wird im Punkt \( C \) durch ein Loslager und im Punkt \( E \) durch ein Festlager gehalten. Der Balken \( B D \) ist in den Punkten \( B \) und \( D \) gelenkig an die Balken \( A B \) bzw. \( C E \) angeschlossen.<br /><br />Der Balken \( A B \) wird durch die konstante Streckenlast \( q_{0} \) belastet.<br /><br />Alle Balken haben die gleiche Biegesteifigkeit \( E I_{y} \) und sind dehnstarr.</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Ermitteln Sie Sinus und Kosinus des Winkels \( \alpha \)</li>
<li>Bestimmen Sie die Normalkraft \( N_{B D} \) im Balken \( B D \).</li>
<li>Bestimmen Sie die Knicksicherheit \( S_{K} \) des Balkens \( B D \).</li>
</ol>
<p><strong>Gegeben:</strong> \[\quad  a, \ E I_{y}, \ q_{0} \]</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText"><img style="width: 100%;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/60336db50ae19f46f6cf8f74.png" alt="Abbildung" /></p>
</div>
</div>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Eulersche Knickfälle mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Stabilitätsprobleme - Eulersche Knickfälle | Aufgabe mit Lösung

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: