Funktionen und Kurven in Polarkoordinaten

Stetigkeit

Funktionen und Kurven in Parameterdarstellung

Hyperbel und Areafunktionen

Trigonometrische Funktionen

Exponentialfunktion, Logarithmus

Produkte

Cauchy

Differentialrechnung 

Lineare Abbildungen

Taylorreihe/Taylorpolynom

Konvergenz rekursiver nichtmonotoner Zahlenfolgen

dualraum

Jordan Normal FOrm

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Aufladen eines Kondensators

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\( \tau=1,24267 \mathrm{~s}\)</li>
<li>\(u(t) =100 \mathrm{~V}\left(1-\mathrm{e}^{-0,80472 \mathrm{~s}^{-1} \cdot t}\right)\)</li>
<li>\(u(t=5 \mathrm{~s}) =98,21 \mathrm{~V}\)</li>
</ol>

<p><strong>a) Zeitkonstante \( \tau \)</strong></p>


<p><strong>a) Zeitkonstante <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \tau " style="vertical-align: -0.029ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.17ex" height="1.005ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 517 444" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1979-TEX-I-1D70F" d="M39 284Q18 284 18 294Q18 301 45 338T99 398Q134 425 164 429Q170 431 332 431Q492 431 497 429Q517 424 517 402Q517 388 508 376T485 360Q479 358 389 358T299 356Q298 355 283 274T251 109T233 20Q228 5 215 -4T186 -13Q153 -13 153 20V30L203 192Q214 228 227 272T248 336L254 357Q254 358 208 358Q206 358 197 358T183 359Q105 359 61 295Q56 287 53 286T39 284Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D70F" xlink:href="#MJX-1979-TEX-I-1D70F"></use></g></g></g></svg></mjx-container></strong></p>


<p>\[<br />u(t=2 \mathrm{~s})=80 \mathrm{~V}<br />\]</p>
<p>\[<br />\Rightarrow \quad 100 \mathrm{~V}\left(1-\mathrm{e}^{-2 \mathrm{~s} / \tau}\right)=80 \mathrm{~V} \quad \mid: 100 \mathrm{~V}<br />\]</p>


<p>\[<br />\Rightarrow \quad 1-\mathrm{e}^{-2 \mathrm{~s} / \tau}=0,8<br />\]</p>


<p>\[\Rightarrow \quad<br />0,2=\mathrm{e}^{-2 \mathrm{~s} / \tau} \quad \mid \mathrm{ln}<br />\]</p>


<p>Rechenregel: \( \quad \ln \mathrm{e}^{n}=n \)</p>


<p>Rechenregel: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \quad \ln \mathrm{e}^{n}=n " style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.053ex" height="1.756ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 4885.5 776" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1984-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-1984-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-1984-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-1984-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 274V267H333V275Z"></path><path id="MJX-1984-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1984-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mstyle"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1000,0)"><use data-c="6C" xlink:href="#MJX-1984-TEX-N-6C"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-1984-TEX-N-6E" transform="translate(278,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1834,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-1984-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2000.7,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="65" xlink:href="#MJX-1984-TEX-N-65"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(477,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1984-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3229.7,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1984-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4285.5,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1984-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\Rightarrow \quad \ln 0,2=\ln \mathrm{e}^{-2 \mathrm{~s} / \tau}=-\frac{2 \mathrm{~s}}{\tau}<br />\]</p>


<p>\[<br />\Rightarrow \quad \tau=\frac{-2 \mathrm{~s}}{\ln 0,2}=1,24267 \mathrm{~s}<br />\]</p>


<p><strong>b) Endwert \( u_{E} \)</strong></p>


<p><strong>b) Endwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" u_{E} " style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.704ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1195.2 592" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1987-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1987-TEX-I-1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 540 490T557 493Q562 493 565 493T570 492T572 491T574 487T577 483L544 351Q511 218 508 216Q505 213 492 213Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-1987-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D438" xlink:href="#MJX-1987-TEX-I-1D438"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></strong></p>


<p>Der Endwert \( u_{E} \) wird erst nach unendlich langer Zeit, d. h. für \( t \rightarrow \infty \) erreicht. Er beträgt:</p>


<p>Der Endwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" u_{E} " style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.704ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1195.2 592" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1988-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1988-TEX-I-1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 540 490T557 493Q562 493 565 493T570 492T572 491T574 487T577 483L544 351Q511 218 508 216Q505 213 492 213Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-1988-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D438" xlink:href="#MJX-1988-TEX-I-1D438"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> wird erst nach unendlich langer Zeit, d. h. für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" t \rightarrow \infty " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.599ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 2916.6 637" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1989-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-1989-TEX-N-2192" d="M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-1989-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-1989-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(638.8,0)"><use data-c="2192" xlink:href="#MJX-1989-TEX-N-2192"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1916.6,0)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-1989-TEX-N-221E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> erreicht. Er beträgt:</p>


<p>\[<br />u_{E}=\lim _{t \rightarrow \infty} u(t)=\lim _{t \rightarrow \infty} 100 \mathrm{~V}\left(1-\mathrm{e}^{-t / 1,24267 \mathrm{~s}}\right)=100 \mathrm{~V}<br />\]</p>


<p>(die streng monoton fallende e-Funktion verschwindet für \( t \rightarrow \infty) \). Der halbe Endwert, also \( u=50 \mathrm{~V} \), wird zum Zeitpunkt \( t=T \) erreicht:</p>


<p>(die streng monoton fallende e-Funktion verschwindet für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" t \rightarrow \infty) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.479ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3305.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1991-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-1991-TEX-N-2192" d="M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-1991-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-1991-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-1991-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(638.8,0)"><use data-c="2192" xlink:href="#MJX-1991-TEX-N-2192"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1916.6,0)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-1991-TEX-N-221E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2916.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1991-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Der halbe Endwert, also <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" u=50 \mathrm{~V} " style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.836ex" height="1.731ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 3905.6 765" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1992-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1992-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1992-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-1992-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-1992-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-1992-TEX-N-56" d="M114 620Q113 621 110 624T107 627T103 630T98 632T91 634T80 635T67 636T48 637H19V683H28Q46 680 152 680Q273 680 294 683H305V637H284Q223 634 223 620Q223 618 313 372T404 126L490 358Q575 588 575 597Q575 616 554 626T508 637H503V683H512Q527 680 627 680Q718 680 724 683H730V637H723Q648 637 627 596Q627 595 515 291T401 -14Q396 -22 382 -22H374H367Q353 -22 348 -14Q346 -12 231 303Q114 617 114 620Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-1992-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1992-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJX-1992-TEX-N-35"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJX-1992-TEX-N-30" transform="translate(500,0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2905.6,0)"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-1992-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250,0)"><use data-c="56" xlink:href="#MJX-1992-TEX-N-56"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>, wird zum Zeitpunkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" t=T " style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.427ex" height="1.717ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 2398.6 759" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1993-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-1993-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1993-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-1993-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(638.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1993-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1694.6,0)"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-1993-TEX-I-1D447"></use></g></g></g></svg></mjx-container> erreicht:</p>


<p>\[<br />u(t=T)=50 \mathrm{~V}<br />\]</p>


<p>\[<br />\Rightarrow \quad 100 \mathrm{~V}\left(1-\mathrm{e}^{-T / 1,24267 \mathrm{~s}}\right)=50 \mathrm{~V} \mid: 100 \mathrm{~V}<br />\]</p>


<p>\[<br />\Rightarrow \quad 1-\mathrm{e}^{-T / 1,24267 \mathrm{~s}}=0,5<br />\]</p>


<p>\[<br />\Rightarrow \quad 0,5=\mathrm{e}^{-T / 1,24267 \mathrm{~s}} \quad \mid \mathrm{ln}<br />\]</p>
<p>\[<br />\Rightarrow \quad \ln 0,5=\ln \mathrm{e}^{-T / 1,24267 \mathrm{~s}}=-\frac{T}{1,24267 \mathrm{~s}}<br />\]</p>


<p>\[\Rightarrow \quad<br />T=(-1,24267 \mathrm{~s}) \cdot \ln 0,5=0,8614 \mathrm{~s}<br />\]</p>


<p>Für \(t \geq 0 \mathrm{~s}\)</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />\begin{aligned}<br />u(t) &amp;=100 \mathrm{~V}\left(1-\mathrm{e}^{-t / 1,24267 \mathrm{~s}}\right)\\<br />&amp;=100 \mathrm{~V}\left(1-\mathrm{e}^{-0,80472 \mathrm{~s}^{-1} \cdot t}\right)<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>c) Kondensatorspannung zum Zeitpunkt \( t=5 \mathrm{~s} \).</p>


<p>c) Kondensatorspannung zum Zeitpunkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" t=5 \mathrm{~s} " style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.422ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2838.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2002-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-2002-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2002-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-2002-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-2002-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-2002-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(638.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2002-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1694.6,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJX-2002-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2194.6,0)"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-2002-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJX-2002-TEX-N-73"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />u(t=5 \mathrm{~s}) &amp;=100 \mathrm{~V}\left(1-\mathrm{e}^{-0,80472 \mathrm{~s}^{-1} \cdot 5 \mathrm{~s}}\right)\\<br />&amp;=100 \mathrm{~V}\left(1-\mathrm{e}^{-4,02360}\right) \\<br />&amp;=98,21 \mathrm{~V}<br />\end{aligned}<br />\]</p>

<p>Beim Aufladen eines Kondensators steigt die Kondensatorspannung \( u \) im Laufe der Zeit \( t \) nach dem Exponentialgesetz</p>
<p>\[<br />u(t)=100 \mathrm{~V}\left(1-\mathrm{e}^{-t / \tau}\right), \quad t \geq 0 \mathrm{~s}<br />\]</p>
<p>\( (\tau &gt; 0: \) Zeitkonstante, noch unbekannt).</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Bestimmen Sie die Zeitkonstante \( \tau \) aus dem Messwert \( u(t=2 \mathrm{~s})=80 \mathrm{~V} \).</li>
<li>Welchen Endwert \( u_{E} \) erreicht die am Kondensator liegende Spannung? Nach welcher Zeit wird der halbe Endwert erreicht? Skizzieren Sie den Spannungsverlauf am Kondensator.</li>
<li>Errechnen Sie die Kondensatorspannung zum Zeitpunkt \( t=5 \mathrm{~s} \).</li>
</ol>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Exponentialfunktion, Logarithmus mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: