Anfangswertprobleme :)

Newton Verfahren

Fourierreihe

Regel von L`Hospital

Anwenden von L´Hospital

Taylorpolynome

Taylorpolynom

Taylorpolynom mit Fehlerabschätzung

Fehlerabschätzung mit Lagrange

Die Taylorreihe ist ein Taylorpolynom mit unendlich vielen Gliedern und somit eine exakte Darstellung einer Funktion ausgedrückt als Reihe.

Taylorreihe

Vollständige Induktion

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Anwendungen der Differentialrechnung

<p><strong>Geschwindigkeit </strong>$ v=\dot{\boldsymbol{x}} $</p>


<p><strong>Geschwindigkeit </strong><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" v=\dot{\boldsymbol{x}} " style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.605ex" height="1.943ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -777 2477.6 859" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-7-TEX-BI-1D499" d="M74 282H63Q43 282 43 296Q43 298 45 307T56 332T76 365T110 401T159 433Q200 451 233 451H236Q273 451 282 450Q358 437 382 400L392 410Q434 452 483 452Q538 452 568 421T599 346Q599 303 573 280T517 256Q494 256 478 270T462 308Q462 343 488 367Q501 377 520 385Q520 386 516 389T502 396T480 400T462 398Q429 383 415 341Q354 116 354 80T405 44Q449 44 485 74T535 142Q539 156 542 159T562 162H568H579Q599 162 599 148Q599 135 586 111T550 60T485 12T397 -8Q313 -8 266 35L258 44Q215 -7 161 -7H156Q99 -7 71 25T43 95Q43 143 70 165T125 188Q148 188 164 174T180 136Q180 101 154 77Q141 67 122 59Q124 54 136 49T161 43Q183 43 200 61T226 103Q287 328 287 364T236 400Q200 400 164 377T107 302Q103 288 100 285T80 282H74Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-2D9" d="M190 609Q190 637 208 653T252 669Q275 667 292 652T309 609Q309 579 292 564T250 549Q225 549 208 564T190 609Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-7-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(762.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1818.6,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D499" xlink:href="#MJX-7-TEX-BI-1D499"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(361.4,8) translate(-250 0)"><use data-c="2D9" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-2D9"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel erhalten wir:</p>


<p>\[<br />x=\underbrace{(4 t-2)}_{u} \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{-0,5 t}}_{w}=u w\]</p>


<p>mit</p>
<p>\[u=4 t-2, \quad w=\mathrm{e}^{-0,5 t}\]</p>
<p>und</p>
<p>\[\dot{u}=4, \quad \dot{w}=-0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 t}<br />\]</p>
<p>$ (w $ wurde dabei nach der Kettenregel differenziert, Substitution: $ z=-0,5 t $ )</p>


<p>mit</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="u=4 t-2, \quad w=\mathrm{e}^{-0,5 t}" style="vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.121ex" height="2.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 10219.3 1077.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path 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<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" (w " style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.5ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1105 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-11-TEX-I-1D464" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-11-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D464" xlink:href="#MJX-11-TEX-I-1D464"></use></g></g></g></svg></mjx-container> wurde dabei nach der Kettenregel differenziert, Substitution: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" z=-0,5 t " style="vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.915ex" height="1.946ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 4382.2 860" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-12-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-12-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-12-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-12-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-12-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-12-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-12-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(742.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-12-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1798.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-12-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2576.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-12-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3076.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-12-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3521.2,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJX-12-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4021.2,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-12-TEX-I-1D461"></use></g></g></g></svg></mjx-container> )</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />v &amp;=\dot{x}=\dot{u} w+\dot{w} u=4 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 t}-0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 t} \cdot(4 t-2)=[4-0,5(4 t-2)] \cdot \mathrm{e}^{-0,5 t}\\<br />&amp;=(4-2 t+1) \cdot \mathrm{e}^{-0,5 t}=(5-2 t) \cdot \mathrm{e}^{-0,5 t}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p><strong>Beschleunigung</strong> $ a=\dot{v}=\ddot{\boldsymbol{x}} $</p>


<p><strong>Beschleunigung</strong> <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a=\dot{v}=\ddot{\boldsymbol{x}} " style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.819ex" height="1.932ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -772 4340.1 854" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-14-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-14-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-14-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-14-TEX-N-2D9" d="M190 609Q190 637 208 653T252 669Q275 667 292 652T309 609Q309 579 292 564T250 549Q225 549 208 564T190 609Z"></path><path id="MJX-14-TEX-BI-1D499" d="M74 282H63Q43 282 43 296Q43 298 45 307T56 332T76 365T110 401T159 433Q200 451 233 451H236Q273 451 282 450Q358 437 382 400L392 410Q434 452 483 452Q538 452 568 421T599 346Q599 303 573 280T517 256Q494 256 478 270T462 308Q462 343 488 367Q501 377 520 385Q520 386 516 389T502 396T480 400T462 398Q429 383 415 341Q354 116 354 80T405 44Q449 44 485 74T535 142Q539 156 542 159T562 162H568H579Q599 162 599 148Q599 135 586 111T550 60T485 12T397 -8Q313 -8 266 35L258 44Q215 -7 161 -7H156Q99 -7 71 25T43 95Q43 143 70 165T125 188Q148 188 164 174T180 136Q180 101 154 77Q141 67 122 59Q124 54 136 49T161 43Q183 43 200 61T226 103Q287 328 287 364T236 400Q200 400 164 377T107 302Q103 288 100 285T80 282H74Z"></path><path id="MJX-14-TEX-N-A8" d="M95 612Q95 633 112 651T153 669T193 652T210 612Q210 588 194 571T152 554L127 560Q95 577 95 612ZM289 611Q289 634 304 649T335 668Q336 668 340 668T346 669Q369 669 386 652T404 612T387 572T346 554Q323 554 306 570T289 611Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(806.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1862.6,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(270.3,-1) translate(-250 0)"><use data-c="2D9" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-2D9"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2625.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(3681.1,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D499" xlink:href="#MJX-14-TEX-BI-1D499"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(361.4,3) translate(-250 0)"><use data-c="A8" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-A8"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Wir differenzieren das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz $ v=v(t) $ nach der Zeit $ t $ unter Verwendung von Produkt- und Kettenregel:</p>


<p>Wir differenzieren das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" v=v(t) " style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.789ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3442.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-15-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-15-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-15-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-15-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-15-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-15-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(762.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1818.6,0)"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-15-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2303.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2692.6,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-15-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3053.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> nach der Zeit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" t " style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.817ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 361 637" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-16-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D461"></use></g></g></g></svg></mjx-container> unter Verwendung von Produkt- und Kettenregel:</p>


<p>\[<br />v=\underbrace{(5-2 t)}_{u} \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{-0,5 t}}_{w}=u w \]</p>


<p>mit</p>
<p>\[u=5-2 t, \quad w=\mathrm{e}^{-0,5 t} \]</p>
<p>und</p>
<p>\[\dot{u}=-2, \quad \dot{w}=-0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 t}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />a &amp;=\dot{v}=\dot{u} w+\dot{w} u=-2 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 t}-0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 t} \cdot(5-2 t)=[-2-0,5(5-2 t)] \cdot \mathrm{e}^{-0,5 t}\\<br />&amp;=(-2-2,5+t) \cdot \mathrm{e}^{-0,5 t}=(t-4,5) \cdot \mathrm{e}^{-0,5 t}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p><strong>Maximale Auslenkung: </strong>$ \dot{x}=v=0, \ddot{x}=\dot{v}=a &lt; 0 $</p>


<p><strong>Maximale Auslenkung: </strong><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \dot{x}=v=0, \ddot{x}=\dot{v}=a < 0 " style="vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="24.334ex" height="2.176ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -768 10755.4 962" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-21-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 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<p>\[<br />\dot{x}=v=0 \Rightarrow(5-2 t) \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{-0,5 t}}_{\neq 0}=0 \Rightarrow 5-2 t=0 \quad \Rightarrow \quad t_{1}=2,5<br />\]</p>


<p>\[<br />\ddot{x}\left(t_{1}=2,5\right)=a\left(t_{1}=2,5\right)=-2 \cdot \mathrm{e}^{-1,25} &lt; 0 \Rightarrow \text { Maximum } \]</p>


<p>\[<br />x_{\max }=x\left(t_{1}=2,5\right)=8 \cdot \mathrm{e}^{-1,25}=2,2920<br />\]</p>


<p>Das Weg-Zeit-Gesetz ist in der Skizze bildlich dargestellt.</p>


<p>Die Gleichung</p>
<p>\[<br />x=(4 t-2) \cdot \mathrm{e}^{-0,5 t}, \quad t \geq 0<br />\]</p>
<p>beschreibe die aperiodische Schwingung eines Feder-Masse-Schwingers $ (x: $ Auslenkung; $ t: $ Zeit). Bestimmen Sie die Geschwindigkeit $ v $ und die Beschleunigung $ a $ in Abhängigkeit von der Zeit. Nach welcher Zeit ist die Auslenkung $ x $ am größten?</p>

<p>Die Gleichung</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
x=(4 t-2) \cdot \mathrm{e}^{-0,5 t}, \quad t \geq 0
" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="26.843ex" height="2.565ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 11864.7 1133.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 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<p>beschreibe die aperiodische Schwingung eines Feder-Masse-Schwingers <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" (x: " style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.432ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1516.8 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1238.8,0)"><use data-c="3A" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-3A"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Auslenkung; <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" t: " style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.074ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 916.8 637" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-3-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-3-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(638.8,0)"><use data-c="3A" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-3A"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Zeit). Bestimmen Sie die Geschwindigkeit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" v " style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.097ex" height="1.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 485 454" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D463"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und die Beschleunigung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a " style="vertical-align: -0.023ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-5-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> in Abhängigkeit von der Zeit. Nach welcher Zeit ist die Auslenkung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" x " style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> am größten?</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Fourierreihe mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Anwendung der Differentialrechnung - Fourierreihe | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Ableitungsregeln im Überblick</h2>
<p><strong>Konstantenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=0$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Faktorregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=c \cdot g(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=c \cdot g^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Potenzregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=x^{n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=n x^{n-1}$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Summenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=u(x)+v(x) \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Produktregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=u(x) \cdot v(x) \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Kettenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=g(h(x)) \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=g^{\prime}(h(x)) \cdot h^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Quotientenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}$$</p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: