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Aufgabenstellung:

Durch ungestörte Überlagerung der beiden zueinander senkrechten Schwingungen mit den Gleichungen

entsteht eine sog. Lissajous-Figur Zeit).

 

Beschreiben Sie die Bahnkurve in kartesischen Koordinaten für und

  1. ,

und skizzieren Sie die Kurven.

Lösungsweg:

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a) Im Falle 

Die Parametergleichungen lauten für und wie folgt:

Unter Verwendung der trigonometrischen Formeln und lässt sich die . Parametergleichung wie folgt durch ausdrücken:

Die . Parametergleichung wird nach aufgelöst, der gefundene Ausdruck dann in die . Gleichung eingesetzt:

Wir erhalten somit zwei (ungerade) Funktionen, die durch Spiegelung an der -Achse ineinander übergehen und eine geschlossene Kurve ergeben. Diese sog. Lissajous-Figur ist sowohl zur -Achse als auch zur -Achse spiegelsymmetrisch.

Skizze

Wertetabelle (. Quadrant):

Abbildung

Die geschlossene Kurve wird dabei innerhalb der Periode wie folgt durchlaufen:

Startpunkt:

b) Im Falle von 

Parametergleichungen für und :

Die . Gleichung lässt sich unter Verwendung des Additionstheorems der Sinusfunktion und der Formel wie folgt darstellen

Aus der . Parametergleichung folgt und durch Einsetzen in die . Gleichung somit

Skizze

Die (periodische) Bewegung verläuft längs einer Parabel zwischen den Punkten und . Startpunkt ist dabei der Scheitelpunkt mit den Koordinaten

Abbildung

Die geschlossene Kurve wird innerhalb einer Periode wie folgt durchlaufen (Startpunkt ist der Scheitelpunkt ):

Lösung:

Skizzen siehe Musterlösung