Funktionen und Kurven in Polarkoordinaten

Stetigkeit

Funktionen und Kurven in Parameterdarstellung

Hyperbel und Areafunktionen

Trigonometrische Funktionen

Exponentialfunktion, Logarithmus

Produkte

Cauchy

Differentialrechnung 

Lineare Abbildungen

Taylorreihe/Taylorpolynom

Konvergenz rekursiver nichtmonotoner Zahlenfolgen

dualraum

Jordan Normal FOrm

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

<p>\[<br />y=\frac{2\left(x^{2}+3\right)}{x^{2}+5} \quad(\operatorname{mit} x \geq 0)<br />\]</p>

<p>Der Radikand der Wurzel muss größer oder gleich Null sein:</p>


<p style="padding-left: 40px;">\[<br />t^{2}-4 \geq 0 \Rightarrow t^{2} \geq 4 \quad \Rightarrow |t| \geq 2<br />\]</p>


<p>Da es für die \(2\). Parametergleichung keine Einschränkung gibt (der Nenner \( t^{2}+1 \) ist stets ungleich \(0\)), ist \( |t| \geq 2 \) der gesuchte gröfftmögliche Definitionsbereich.</p>


<p>Da es für die <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="2" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Parametergleichung keine Einschränkung gibt (der Nenner <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" t^{2}+1 " style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.701ex" height="2.072ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 2520 915.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-5-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(394,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1019.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2020,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist stets ungleich <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="0" style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 688" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container>), ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" |t| \geq 2 " style="vertical-align: -0.564ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.223ex" height="2.26ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -749.5 2750.6 999" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-7-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-2265" d="M83 616Q83 624 89 630T99 636Q107 636 253 568T543 431T687 361Q694 356 694 346T687 331Q685 329 395 192L107 56H101Q83 58 83 76Q83 77 83 79Q82 86 98 95Q117 105 248 167Q326 204 378 228L626 346L360 472Q291 505 200 548Q112 589 98 597T83 616ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(278,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-7-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(639,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1194.8,0)"><use data-c="2265" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2250.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container> der gesuchte gröfftmögliche Definitionsbereich.</p>


<p>\[<br />x=\sqrt{t^{2}-4}\quad \mid \text { quadrieren }\]</p>


<p>\[\Rightarrow x^{2}=t^{2}-4\]</p>
<p>\[\Rightarrow t^{2}=x^{2}+4\]</p>


<p>\[\begin{align}<br />y&amp;=\frac{2\left(t^{2}-1\right)}{t^{2}+1} \\\\<br />&amp;=\frac{2\left(x^{2}+4-1\right)}{x^{2}+4+1} \\\\<br />&amp;=\frac{2\left(x^{2}+3\right)}{x^{2}+5} \quad(\text {mit } x \geq 0)<br />\end{align}\]</p>

<p>Gegeben sind die folgenden Kurven in Parameterdarstellung:</p>
<p>\[ \quad x=\sqrt{t^{2}-4}, \quad y=\frac{2\left(t^{2}-1\right)}{t^{2}+1} \]</p>
<p>Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich für den Parameter \( t \) und geben Sie eine parameterfreie Darstellung an.</p>

<p>Gegeben sind die folgenden Kurven in Parameterdarstellung:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt=" \quad x=\sqrt{t^{2}-4}, \quad y=\frac{2\left(t^{2}-1\right)}{t^{2}+1} " style="vertical-align: -1.814ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="32.254ex" height="5.568ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1659 14256.4 2460.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 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<p>Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich für den Parameter <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" t " style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.817ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 361 637" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D461"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und geben Sie eine parameterfreie Darstellung an.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Funktionen und Kurven in Parameterdarstellung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theori

Funktionen - Funktionen und Kurven in Parameterdarstellung | Aufgabe m

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: