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Aufgabenstellung:

Für die Regelstrecke aus der ersten Aufgabe sollen nun auch die Parameter und eines PID-Reglers bestimmt werden, so dass die folgenden Spezifikationen erfüllt sind:

  • Die Durchtrittsfrequenz der Kreisverstärkung soll bei liegen.
  • Die Nyquistkurve der Kreisverstärkung soll den Einheitskreis tangential zur imaginären Achse betreten.
  • Es soll kein stationärer Regelfehler auftreten.

Gehen Sie für den Reglerentwurf wie folgt vor:

a) Bestimmen Sie aufgrund geometrischer Überlegungen die Phasenreserve und den Steigungswinkel der Kreisverstärkung bei der Durchtrittsfrequenz, so dass die Spezifikationen erfüllt werden. Skizzieren Sie auch den qualitativen Verlauf des offenen Regelkreises in einem Nyquist-Diagramm.
b) Leiten Sie die analytischen Ausdrücke für die Grössen und her, mit

Lösungsweg:

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a) Phasenreserve und den Steigungswinkel , Skizze des offenen Regelkreises 

Die Phasenreserve und der Eintrittswinkel könne anhand einer Abbildung sehr einfach bestimmt werden:

Um einen verschwindenden stationären Nachlauffehler zu erhalten, muss der Betrag der Kreisverstärkung für unendlich gross werden, . Dies ist der Fall, wenn die Regelstrecke und/oder der Regler integrierendes Verhalten aufweisen. Im vorliegenden Fall sorgt der I-Anteil des PID-Reglers für das Verschwinden des stationären Nachlauffehlers.
Die Nyquist-Kurve der Strecke wird durch den PID-Regler bei um gedreht und mit " " gestreckt, bei um gedreht. Für resultiert der im folgenden skizzierte Verlauf.

Abbildung

b) analytischen Ausdrücke für die Grössen und

Der analytische Ausdruck für den Betrag der Strecke lautet:

Bei der Durchtrittsfrequenz gilt :

Die Ableitung des Betrags nach der Frequenz folgt zu

Ausgewertet an der Durchtrittsfrequenz erhält man

Für die Phase der Strecke gilt: 

Bei der Durchtrittsfrequenz hat die Strecke demnach die Phase

Die Ableitung der Phase nach folgt zu

Ausgewertet an der Durchtrittsfrequenz erhält man :

Lösung:

  1. , siehe Musterlösung

  2. ,
    ,
    ,