Beobachtbarkeit

Steuerbarkeit

Modellierung

Diskretisierung

Zustandsraumdarstellung

Stabilität

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

Massenschwinger

\[\begin{align} \left(\begin{array}{c}\dot{x}_{1} \\ \dot{x}_{2} \\ \dot{x}_{3} \\ \dot{x}_{4}\end{array}\right)&amp;=\left(\begin{array}{cccc}0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\ -\frac{c_{2}}{m_{1}}-\frac{c_{1}}{m_{1}} &amp; -\frac{d_{2}}{m_{1}}-\frac{d_{1}}{m_{1}} &amp; \frac{c_{2}}{m_{1}} &amp; \frac{d_{2}}{m_{1}} \\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \\ \frac{c_{2}}{m_{2}} &amp; \frac{d_{2}}{m_{2}} &amp; -\frac{c_{2}}{m_{2}} &amp; \frac{d_{2}}{m_{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{2} \\ x_{4}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0 &amp; 0 \\ \frac{c_{1}}{m_{1}} &amp; \frac{d_{1}}{m_{1}} \\ 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}z_{0} \\ \dot{z}_{0}\end{array}\right) 
 \\\left(\begin{array}{l}z_{1} \\ z_{2}\end{array}\right)&amp;=\left(\begin{array}{llll}1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{2} \\ x_{4}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}z_{0} \\ \dot{z_{0}}\end{array}\right) \end{align}\]

Umformen des Systems von Differentialgleichungen zweiter Ordnung in eines erste Ordnung bedingt die "Umbenennung" der Größen \( \dot{z}_{1} \) und \( \dot{z}_{2} . \) Um einheitliche Größen z verwenden werden auch \( z_{1} \) und \( z_{2} \) umbenannt:

Umformen des Systems von Differentialgleichungen zweiter Ordnung in eines erste Ordnung bedingt die "Umbenennung" der Größen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \dot{z}_{1} " style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.04ex" height="2.075ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -767 901.6 917" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-825-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-825-TEX-N-2D9" d="M190 609Q190 637 208 653T252 669Q275 667 292 652T309 609Q309 579 292 564T250 549Q225 549 208 564T190 609Z"></path><path id="MJX-825-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-825-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(288.1,-2) translate(-250 0)"><use data-c="2D9" xlink:href="#MJX-825-TEX-N-2D9"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(498,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-825-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \dot{z}_{2} . " style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.669ex" height="2.075ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -767 1179.6 917" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-826-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-826-TEX-N-2D9" d="M190 609Q190 637 208 653T252 669Q275 667 292 652T309 609Q309 579 292 564T250 549Q225 549 208 564T190 609Z"></path><path id="MJX-826-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-826-TEX-N-2E" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-826-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(288.1,-2) translate(-250 0)"><use data-c="2D9" xlink:href="#MJX-826-TEX-N-2D9"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(498,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-826-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(901.6,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-826-TEX-N-2E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Um einheitliche Größen z verwenden werden auch <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" z_{1} " style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.04ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 901.6 592" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-827-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 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\[ \begin{aligned} &amp;x_{1}=z_{1} \\ &amp;x_{2}=\dot{z}_{1} \\ &amp;x_{3}=z_{2} \\ &amp;x_{4}=\dot{z}_{2} \end{aligned} \]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\begin{aligned}
&x_{1}=z_{1} \\
&x_{2}=\dot{z}_{1} \\
&x_{3}=z_{2} \\
&x_{4}=\dot{z}_{2}
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transform="translate(498,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-830-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-830-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(498,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-830-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1637.6,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-830-TEX-S3-29"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>

\[\begin{align} \dot{x}_{1}&amp;=x_{2} \\\dot{x}_{2}&amp;=\frac{1}{m_{1}}\left(d_{2} \cdot\left(\dot{z_{2}}-\dot{z_{1}}\right)+c_{2} \cdot\left(z_{2}-z_{1}\right)-d_{1} \cdot\left(\dot{z_{1}}-\dot{z_{0}}\right)-c_{1} \cdot\left(z_{1}-z_{0}\right)\right) \\\dot{x}_{3}&amp;=x_{4} \\\dot{x}_{4}&amp;=\frac{1}{m_{2}}\left(-d_{2} \cdot\left(\dot{z}_{2}-\dot{z}_{1}\right)-c_{2} \cdot\left(z_{2}-z_{1}\right)\right) \end{align}\]

Dies ergibt die Zustandsraumdarstellung

Zustandsdifferentialgleichung
\[ \left(\begin{array}{c}\dot{x}_{1} \\ \dot{x}_{2} \\ \dot{x}_{3} \\ \dot{x}_{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\ -\frac{c_{2}}{m_{1}}-\frac{c_{1}}{m_{1}} &amp; -\frac{d_{2}}{m_{1}}-\frac{d_{1}}{m_{1}} &amp; \frac{c_{2}}{m_{1}} &amp; \frac{d_{2}}{m_{1}} \\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \\ \frac{c_{2}}{m_{2}} &amp; \frac{d_{2}}{m_{2}} &amp; -\frac{c_{2}}{m_{2}} &amp; \frac{d_{2}}{m_{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{2} \\ x_{4}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0 &amp; 0 \\ \frac{c_{1}}{m_{1}} &amp; \frac{d_{1}}{m_{1}} \\ 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}z_{0} \\ \dot{z}_{0}\end{array}\right) \]

Ausgangsgleichung
\[ \left(\begin{array}{l}z_{1} \\ z_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll}1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{2} \\ x_{4}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}z_{0} \\ \dot{z_{0}}\end{array}\right) \]

Ausgangsgleichung
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\left(\begin{array}{l}z_{1} \\ z_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{2} \\ x_{4}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}z_{0} \\ \dot{z_{0}}\end{array}\right) 
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xlink:href="#MJX-833-TEX-S4-239E" transform="translate(0,1696)"></use><use data-c="23A0" xlink:href="#MJX-833-TEX-S4-23A0" transform="translate(0,-1706)"></use><svg width="875" height="1782" y="-641" x="0" viewBox="0 402.4 875 1782"><use data-c="239F" xlink:href="#MJX-833-TEX-S4-239F" transform="scale(1,4.311)"></use></svg></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(13326.6,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-833-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(14326.8,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-833-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(736,0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-833-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-833-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-833-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-833-TEX-N-30"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2736,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-833-TEX-S3-29"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(17965.4,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-833-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(736,0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,708.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-833-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(498,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-833-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-708.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-833-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(498,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-833-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(450.8,-2) translate(-250 0)"><use data-c="2D9" xlink:href="#MJX-833-TEX-N-2D9"></use></g></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1637.6,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-833-TEX-S3-29"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Gegeben ist das System von Differentialgleichungen für einen 2-Massenschwinger mit Weganregung:
\[ \begin{aligned} &amp;m_{1} \cdot \ddot{z_{1}}=d_{2} \cdot\left(\dot{z_{2}}-\dot{z_{1}}\right)+c_{2} \cdot\left(z_{2}-z_{1}\right)-d_{1} \cdot\left(\dot{z_{1}}-\dot{z_{0}}\right)-c_{1} \cdot\left(z_{1}-z_{0}\right) \\ &amp;m_{2} \cdot \ddot{z_{2}}=-d_{2} \cdot\left(\dot{z_{2}}-\dot{z_{1}}\right)-c_{2} \cdot\left(z_{2}-z_{1}\right) \end{aligned} \]
 
Ermitteln Sie für
\[ u=\left(\begin{array}{l} z_{0} \\ \dot{z_{0}} \end{array}\right) \text { und } y=\left(\begin{array}{l} z_{1} \\ z_{2} \end{array}\right) \]
alle Matrizen A, B, C, D der Zustandsraumdarstellung
\[ \begin{aligned} &amp;\dot{x}=A \cdot x+B \cdot u \\ &amp;y=C \cdot x+D \cdot u \end{aligned} \]

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Zustandsraumdarstellung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Zeitdiskrete und kontinuierliche Systeme - Zustandsraumdarstellung | A

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: