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Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Differenzengleichung einer stabilen Regelstrecke mit den Stellgrößenwerten , den Regelgrößenwerten und den Störgrößenwerten :

Zunächst soll die Strecke ohne Störung untersucht werden. Dazu wird die Strecke mit beaufschlagt. Es gilt für

 

Hinweis: Alle Teilaufgaben können unabhängig voneinander gelöst werden.

a) Ermitteln Sie die Wertefolge für und tragen Sie diese in die folgende Tabelle ein.

Abbildung

b) Berechnen Sie den stationären Endwert .

Nun soll ein -Regler mit der Übertragungsfunktion verwendet werden.

c) Bestimmen Sie die Differenzengleichung des Reglers mit Abtastzeit in der Form

Verwenden Sie für die Approximation der Differentiation die Rückwärtsdifferenz.

d) Mit dem gegebenen -Regler arbeitet der geschlossene Regelkreis stabil. Berechnen Sie die stationären Endwerte und für einen Sprung der Störgrößenfolge .

Lösungsweg:

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a) Wertefolge für

Zunächst wird die Störgrößenfolge auf 0 gesetzt und die Differenzengleichung nach aufgelöst:

Mit den gegebenen Stellgrößenwerten ergibt sich:

b) Stationären Endwert

Für gelten die Annahmen: und .

Damit lässt sich der stationäre Endwert direkt berechnen:

c) Differenzengleichung des Reglers

Die Differentialgleichung des Reglers lautet:

Einmal differenziert ergibt:

Diskretisierung mithilfe der Rückwärtsdifferenz:

Einsetzen der gegebenen Werte für und ergibt schließlich:

d) Stationäre Endwerte und für einen Sprung der Störgrößenfolge

Strecke ist nicht differenzierend, somit folgt aufgrund des PI-Reglers sofort:

Eingesetzt in die Differenzengleichung der Strecke ergibt sich:

Lösung: