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Aufgabenstellung:

Gegeben ist die folgende Regelstrecke

mit und

 

  1. Kompensieren Sie das konjugiert komplexe Polpaar mit einem realisierbaren PID-Regler mit der parasitären Zeitkonstante und geben Sie die Übertragungsfunktion des resultierenden offenen Regelkreises an.
  2. Berechnen Sie den stationären Endwert der Sprungantwort des geregelten Systems mit Einheitsrückführung. Beschreiben Sie, wie sich das Systemverhalten durch die Polstellen-Kompensation verändert. Was würde sich ändern, wenn anstatt des PID- und ein P-Regler verwendet werden würde.

Lösungsweg:

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a) Übertragungsfunktion

Um die Polstellen zu kompensieren. wird zunächst die Übertragungsfunktion des Reglers umgestellt

wobei gilt

Für die beiden Nullstellen der Reglerübertragungsfunktion und gilt.

Um die beiden Polstellen zu kompensieren, müssen die Nullstellen des Reglers folgende Form besitzen

also ein komplexes Nullstellenpaar darstellen.

Damit ergibt sich für und

und damit die Übertragungsfunktion des Reglers zu

Aus den Ausdrücken für und können nun durch Umformen Ausdrücke für und gewonnen werden

Damit durch den Regler das komplexe Polpaar kompensiert wird, muss und gelten. Damit ergeben sich und zu

Damit ergibt sich für

b) stationärer Endwert der Sprungantwort

Der offene Regelkreis bestehend aus Regler und Strecke wird mit einer Einheitsrückführung negativ geschlossen (Rückkopplung), wie es in der folgenden Abbildung dargestellt ist.

Abbildung

Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises lautet deswegen

Für den Nenner der Übertragungsfunktion ergibt sich

und damit die gesamte Übertragungsfunktion zu

Das kann jetzt zum einen dazu benutzt werden um das Verhalten des Regelkreis noch anzupassen (Verkleinerung der Anregelzeit, etc.). Die Veränderung des Systemverhaltens durch die Polkompensation (für ein ) wird im Folgenden dargestellt.

Zunächst wird der stationäre Endwert der Sprungantwort betrachtet

Der Regelkreis ist stationär genau, da der Eingang und Ausgang im eingeschwungenen Zustand identisch sind.

Zum Vergleich der stat. Endwert der Strecke ohne die Regelung

Verhalten der Pokompensation und Regleränderung (Beschreibung) 

Ungeregelt besitzt das System also keine stationäre Genauigkeit, da der Ausgang stationär nicht dem Eingang entspricht. Neben der durch den Regler erreichten stationären Genauigkeit zeigt sich zusätzlich noch sehr deutlich der Effekt der Polkompensation. Da genau die beiden komplexen Pole kompensiert wurden, welche für das Schwingungsverhalten des ungeregelten Systems verantwortlich waren, zeigt das System nach der Kompensation durch die Regelung nun aperiodisches Verhalten.

Lösung: