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Aufgabenstellung:

Gegeben ist ein durch die konstante Störung gestörtes lineares zeitinvariantes System der Form

Entwerfen Sie eine PI-Zustandsregelung so, dass der geschlossene Regelkreis mit der Führungsgröße stationär genau ist und alle Eigenwerte der Dynamikmatrix des geregelten Systems bei liegen.

Lösungsweg:

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Um einen PI-Zustandsregler für das System

zu entwerfen, wird zunächst der Ausgangsfehler auf Basis der Führungsgröße und des Ausangs definiert.

Da es mit dem Ansatz nicht möglich ist den endgüligen Fehler (für konstante ) verschwinden zu lassen, wird der Ansatz

gewählt.

Um diese Stellgesetz zu ermöglichen wird der neue Zustand eingeführt, sodass das Stellgesetz wie folgt beschrieben werden kann

Für das erweiterte System gilt

Die Zustandsrückführung wird mit Hilfe der Ackermannformel bestimmt.

Dafür wird zunächst die letzte Zeile der inversen Steuerbarkeitsmatrix benötigt.

Die Steuerbarkeitsmatrix berechnet sich zu

Da diese vollständig steuerbar ist, kann ihre Inverse und somit

bestimmt werden.

Mit den Koeffizienten des gewünschten charakteristischen Polynoms (für ) wird die Zustandsrückführung bestimmt.

ergibt sich zu 

Mit ergibt sich

Die Parameter und können nicht eindeutig bestimmt werden. Daher wird zunächst bestimmt und anschließend abgeleitet. Es wird angenommen, dass der Eingang durch gegeben ist, wobei konstant ist.

Resultierend daraus ergibt sich

Der Vektor wird anschließend bestimmt werden durch

Lösung:

Siehe Musterlösung.