Schrödinger-Gleichung

Unschärferelation

Produkte

Cauchy

Differentialrechnung 

Lineare Abbildungen

Taylorreihe/Taylorpolynom

Konvergenz rekursiver nichtmonotoner Zahlenfolgen

dualraum

Jordan Normal FOrm

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Wasserstoffatom

<p>\[<br />E=-\frac{1}{2} \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} a_{0}}<br />\]</p>
<p> </p>

<p>Da der Grundzustand rotationssymmetrisch ist, ist es nicht nötig in der Schrödingergleichung die Ableitung nach den Winkeln zu betrachten.</p>


<p>Vereinfache zuerst die Wellenfunktion (fasse Konstanten zusammen):</p>


<p>Definiere \( C=1 / \sqrt{\pi}\left(Z / a_{0}\right)^{3 / 2} \) und \( k=1 /\left(4 \pi \epsilon_{0}\right) \). Dann gilt für die Differentiation der Wellenfunktion:</p>


<p>Definiere <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" C=1 / \sqrt{\pi}\left(Z / a_{0}\right)^{3 / 2} " style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.518ex" height="2.845ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1007.4 8626.8 1257.4" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5-TEX-I-1D436" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 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187 128 143Q128 77 160 52T231 26Q258 26 284 36T326 57T343 68Q350 68 354 58T358 39Q358 36 357 35Q354 31 337 21T289 0T227 -11Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D458"></use></g><g 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data-c="30" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2301.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-29"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>. Dann gilt für die Differentiation der Wellenfunktion:</p>


<p>\[<br />\quad \frac{\partial \psi_{100}}{\partial r}=C \frac{\partial}{\partial r} \exp \left[-\frac{\mathrm{Zr}}{a_{0}}\right]=C \frac{\mathrm{Z}}{a_{0}} \exp \left[-\frac{\mathrm{Z} r}{a_{0}}\right]<br />\]</p>


<p>Multipliziere beide Seiten mit \( r^{2} \) und erhalte nach Differentiation nach \( r \) :</p>


<p>Multipliziere beide Seiten mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" r^{2} " style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.008ex" height="1.912ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 887.6 844.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-8-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(484,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und erhalte nach Differentiation nach <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" r " style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-9-TEX-I-1D45F"></use></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>


<p>\begin{align}<br />\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial \psi_{100}}{\partial r}\right)&amp;=-C \frac{Z}{a_{0}} \frac{\partial}{\partial r} r^{2} \exp \left[-\frac{Z r}{a_{0}}\right]\\<br />&amp;=\left[-\frac{2 Z r}{a_{0}}+r^{2}\left(\frac{Z}{a_{0}}\right)^{2}\right] C \exp \left[-\frac{Z r}{a_{0}}\right]<br />\end{align}</p>


<p>Eingesetzt in die Schrödingergleichung liefert das</p>


<p>\[<br />-\frac{\hbar^{2}}{2 m r^{2}}\left[-\frac{2 Z r}{a_{0}}+r^{2}\left(\frac{Z}{a_{0}}\right)^{2}\right] \operatorname{Cexp}\left[-\frac{Z r}{a_{0}}\right]-\frac{k Z e^{2}}{r} C \exp \left[-\frac{Z r}{a_{0}}\right]=E C \exp \left[-\frac{Z r}{a_{0}}\right]<br />\]</p>


<p>Auflösen nach \( E \) und Einsetzen von \( a_{0} \) ergibt:</p>


<p>Auflösen nach <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" E " style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.729ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 764 680" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12-TEX-I-1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 540 490T557 493Q562 493 565 493T570 492T572 491T574 487T577 483L544 351Q511 218 508 216Q505 213 492 213Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D438" xlink:href="#MJX-12-TEX-I-1D438"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und Einsetzen von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a_{0} " style="vertical-align: -0.375ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.185ex" height="1.372ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 965.6 606.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-13-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-13-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-13-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-13-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> ergibt:</p>


<p>\[<br />E=-\frac{\hbar^{2}}{2 m r^{2}}\left[-\frac{2 Z r}{a_{0}}+r^{2}\left(\frac{Z}{a_{0}}\right)^{2}\right]-\frac{k Z e^{2}}{r}=-\frac{1}{2} \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} a_{0}}<br />\]</p>

<p>Zeigen Sie, dass die Grundzustands-Waserstoff-Wellenfunktion</p>
<p>\[<br />\quad \psi_{100}(r, \phi, \theta)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{\mathrm{Z}}{a_{0}}\right)^{\frac{3}{2}} \cdot \exp \left[-\frac{\mathrm{Zr}}{a_{0}}\right]<br />\]</p>
<p>eine Lösung der Schrödinger-Gleichung</p>
<p>\[<br />\quad -\frac{\hbar^{2}}{2 m r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial \psi}{\partial r}\right)-\frac{\hbar^{2}}{2 m r^{2}}\left[\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial \phi^{2}}\right]+U(r) \psi=E \psi<br />\]</p>
<p>mit</p>
<p>\[<br />\quad U(r)=-\frac{Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r}<br />\]</p>
<p>ist und bestimmen Sie den Ausdruck für \( E_{100} \).</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Schrödinger-Gleichung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Quantentheorie - Schrödinger-Gleichung | Aufgabe mit Lösung

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: