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Aufgabenstellung:

Feder-Masse-Dämpfer SystemGegeben ist das dargestellte Feder-Masse-Dämpfer System aus der ersten Übung. Die Feder wurde durch ein anderes Modell ersetzt, und besitzt nun eine nichtlineare Kennlinie der Form . Das System wird weiterhin von einer zeitabhängigen Kraft angeregt.

  1. Bestimmen Sie die Differentialgleichung, die die Dynamik des oben dargestellten Feder-Masse-Dämpfer Systems mit der neuen Feder in der Koordinate beschreibt.
  2. Linearisieren Sie die erhaltene Differentialgleichung um deren Ruhelage bei einer konstanten Anregung .

Lösungsweg:

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a) Differentialgleichung des Feder-Masse-Dämpfer Systems

Die Federkraft des Systems kann durch die folgende Gleichung beschrieben werden

Die allgemeine DGL des Systems lautet: 

eingesetzt mit der Federkraft ergibt sich: 

b) Linearisierung der Differentialgleichung

Durch die nichtlineare Federkennlinie wird das System nun durch eine nichtlineare inhomogene DGL beschrieben. Diese soll jetzt im Folgenden in einer Ruhelage linearisiert werden.

Für die Ruhelage gilt:

  • System ist in Ruhe, keine Bewegungen mehr vorhanden:
  • System wird mit einem konstanten angeregt

Eingesetzt in die DGL ergibt sich

Die Gleichung wird nach aufgelöst, womit sich die einzige Ruhelage des Systems bei einer konstanten Anregung mit ergibt

In dieser Ruhelage wird die DGL durch ein lineares Modell angenähert, welches Abweichungen des Systems von dieser Ruhelage beschreibt.

Hierzu werden die zeitabhängigen Größen in der DGL durch die folgenden Ausdrücke ersetzt:

Diese Ausdrücke werden in (1) eingesetzt

Es zeigt sich, dass für die linearen Ausdrücke der beiden Ableitungen von durch die Wahl der Ruhelage direkt die gewünschte Abhängigkeit von den Abweichungsgrößen ergibt.

Es ergibt sich der nichtlineare Ausdruck

Der nichtlineare Ausdruck wird nun durch eine Taylorreihen-Entwicklung linear angenähert. Hierzu wird der ursprüngliche nichtlineare Ausdruck aus der ursprünglichen DGL durch eine Taylorreihe entwickelt und nach dem linearen Glied abgebrochen

Angewandt auf das hier vorliegende Problem ergibt sich

Durch Einsetzen von und Vernachlässigen der Terme höherer Ordnung erhält man dann mit

eine Approximation des nichtlinearen Terms.

Wird diese Approximation nun in (2) eingesetzt, erhält man die lineare Differentialgleichung 

die gewünschte lineare Differentialgleichung approximiert die DGL (1) in der Umgebung der Ruhelage .

Lösung: