Gegeben ist das dargestellte System eines elektrischen Hubmagnetes.
Es sind folgende Differentialgleichungen bekannt:
Des Weiteren ist die Ruhelage des System
Linearisieren Sie das dargestellte System um die angegebene Ruhelage bei einer konstanten Eingangsspannung
Stellen Sie das linearisierte System in Form eines Blockschaltbildes dar.
a) Linearisierung um die Ruhelage
Beide Differentialgleichungen enthalten nichtlineare Terme, die mehrere zeitabhängige Größen enthalten, daher ist eine mehrdimensionale Taylor-Reihenentwicklung notwendig. Diese ergibt sich zu
Ersetzt man in (2) die zeitabhängigen Größen durch die Beschreibung der Ruhelagen-Abweichung folgt
elektrisches Teilsystem
In Gleichung (3) muss folgender Teil linearisiert werden
Diese Gleichung wird nun durch den mehrdimensionalen Taylor-Ansatz linear approximiert. Hierzu gilt es zunächst die drei partiellen Ableitungen nach den drei zeitabhängigen Größen aus der ursprünglichen DGL zu bilden
In (5) eingesetzt ergibt sich
Einsetzen in (3) ergibt
Für
Somit ergibt sich die linearisierte DGL des elektrischen Teilsystems
Das Einsetzen der Ruhelagen liefert schlussendlich
mechanisches Teilsystem
Analoger Ansatz wird bei der DGL (4) des mechanischen Teilsystems angewendet. Hier muss der Teil
linearisiert werden.
Hierzu werden ebenfalls zunächst werden die beiden partiellen Ableitungen des nichtlinearen Gliedes der ursprünglichen Differentialgleichung gebildet um die Differenzenfunktion zu approximieren
Aufstellen der zweidimensionalen Taylor-Näherung des Terms ergibt
Der Term wird nun in (4) eingesetzt, wodurch sich ergibt
Durch anschließendes Einsetzen der Ruhelage
Schlussendlich ergibt sich durch das Einsetzen von
b) Blockschaltbild