elastischer stoss

kinematik

impuls

Schwingungen

Wellen

Produkte

Cauchy

Differentialrechnung 

Lineare Abbildungen

Taylorreihe/Taylorpolynom

Konvergenz rekursiver nichtmonotoner Zahlenfolgen

dualraum

Jordan Normal FOrm

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

lösbarkeit einer Matrix

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Überlagerung von Schwingungen

<ol>
<li>\[<br />Z(t)=13,2 \mathrm{~cm} \cdot \cos \left(\omega t+54,1^{\circ}\right)<br />\]</li>
<li>Siehe Lösungsweg.</li>
<li>\[<br />Z(t)=15 \mathrm{~cm} \cdot \cos \left(\omega t+50,4^{\circ}\right)<br />\]</li>
</ol>

<p>1. Geben Sie die Gesamtschwingung $ Z(t) $ an</p>


<p>1. Geben Sie die Gesamtschwingung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" Z(t) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.213ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1862 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-265-TEX-I-1D44D" d="M58 8Q58 23 64 35Q64 36 329 334T596 635L586 637Q575 637 512 637H500H476Q442 637 420 635T365 624T311 598T266 548T228 469Q227 466 226 463T224 458T223 453T222 450L221 448Q218 443 202 443Q185 443 182 453L214 561Q228 606 241 651Q249 679 253 681Q256 683 487 683H718Q723 678 723 675Q723 673 717 649Q189 54 188 52L185 49H274Q369 50 377 51Q452 60 500 100T579 247Q587 272 590 277T603 282H607Q628 282 628 271Q547 5 541 2Q538 0 300 0H124Q58 0 58 8Z"></path><path id="MJX-265-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-265-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-265-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44D" xlink:href="#MJX-265-TEX-I-1D44D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(723,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-265-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1112,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-265-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1473,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-265-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> an</p>


<p>\[<br />Z(t)=Z_{1}(t)+Z_{2}(t) \stackrel{!}{=} \hat{Z} \cos (\omega t+\varphi)<br />\]</p>


<p>Bestimme $\hat{Z}$ und $\varphi$:</p>


<p>Bestimme <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\hat{Z}" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.636ex" height="2.378ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1051 723 1051" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-267-TEX-I-1D44D" d="M58 8Q58 23 64 35Q64 36 329 334T596 635L586 637Q575 637 512 637H500H476Q442 637 420 635T365 624T311 598T266 548T228 469Q227 466 226 463T224 458T223 453T222 450L221 448Q218 443 202 443Q185 443 182 453L214 561Q228 606 241 651Q249 679 253 681Q256 683 487 683H718Q723 678 723 675Q723 673 717 649Q189 54 188 52L185 49H274Q369 50 377 51Q452 60 500 100T579 247Q587 272 590 277T603 282H607Q628 282 628 271Q547 5 541 2Q538 0 300 0H124Q58 0 58 8Z"></path><path id="MJX-267-TEX-N-5E" d="M112 560L249 694L257 686Q387 562 387 560L361 531Q359 532 303 581L250 627L195 580Q182 569 169 557T148 538L140 532Q138 530 125 546L112 560Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44D" xlink:href="#MJX-267-TEX-I-1D44D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(454.8,257) translate(-250 0)"><use data-c="5E" xlink:href="#MJX-267-TEX-N-5E"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\varphi" style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.48ex" height="1.493ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 654 660" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-268-TEX-I-1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D711" xlink:href="#MJX-268-TEX-I-1D711"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\[<br />\hat{Z}=\sqrt{(5 \mathrm{~cm})^{2}+(10 \mathrm{~cm})^{2}+2 \cdot 5 \cdot 10 \mathrm{~cm}^{2} \cdot \cos 60^{\circ}}=13,2 \mathrm{~cm}<br />\]</p>


<p>\[<br />\varphi=\arctan \left(\frac{5 \cdot \sin 95^{\circ}+10 \cdot \sin 35^{\circ}}{5 \cdot \cos 95^{\circ}+10 \cdot \cos 35^{\circ}}\right)=54,1^{\circ}<br />\]</p>


<p>\[<br />\Rightarrow Z(t)=13,2 \mathrm{~cm} \cdot \cos \left(\omega t+54,1^{\circ}\right)<br />\]</p>


<p>2. Berechnen Sie das Ergebnis aus 1. durch Verwendung komplexer Amplituden</p>


<p>\[<br />\underline{\hat{Z}}_{1}=5 \mathrm{cm \ e}^{\mathrm{j} 95^{\circ}}=5 \mathrm{~cm} \cdot\left(\cos 95^{\circ}+\mathrm{j} \sin 95^{\circ}\right)<br />\]</p>


<p>\[<br />\underline{\hat{Z}}_{2}=10 \mathrm{cm \ e}^{\mathrm{j} 35^{\circ}}=10 \mathrm{~cm} \cdot\left(\cos 35^{\circ}+\mathrm{j} \sin 35^{\circ}\right)<br />\]</p>


<p>Bestimme <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\hat{Z}" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.636ex" height="2.378ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1051 723 1051" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-274-TEX-I-1D44D" d="M58 8Q58 23 64 35Q64 36 329 334T596 635L586 637Q575 637 512 637H500H476Q442 637 420 635T365 624T311 598T266 548T228 469Q227 466 226 463T224 458T223 453T222 450L221 448Q218 443 202 443Q185 443 182 453L214 561Q228 606 241 651Q249 679 253 681Q256 683 487 683H718Q723 678 723 675Q723 673 717 649Q189 54 188 52L185 49H274Q369 50 377 51Q452 60 500 100T579 247Q587 272 590 277T603 282H607Q628 282 628 271Q547 5 541 2Q538 0 300 0H124Q58 0 58 8Z"></path><path id="MJX-274-TEX-N-5E" d="M112 560L249 694L257 686Q387 562 387 560L361 531Q359 532 303 581L250 627L195 580Q182 569 169 557T148 538L140 532Q138 530 125 546L112 560Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44D" xlink:href="#MJX-274-TEX-I-1D44D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(454.8,257) translate(-250 0)"><use data-c="5E" xlink:href="#MJX-274-TEX-N-5E"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\varphi" style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.48ex" height="1.493ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 654 660" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-275-TEX-I-1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D711" xlink:href="#MJX-275-TEX-I-1D711"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\hat{Z}=|\underline{\hat{Z}}|=\sqrt{\left(\operatorname{Re} \underline{\hat{Z}}_{1}+\operatorname{Re} \underline{\hat{Z}}_{2}\right)^{2}+\left(\operatorname{Im} \underline{\hat{Z}}_{1}+\operatorname{Im} \underline{\hat{Z}}_{2}\right)^{2}}<br />\]</p>


<p>\[<br />\quad \quad \quad \ \  =\sqrt{\left(5 \cdot \cos 95^{\circ}+10 \cdot \cos 35^{\circ}\right)^{2}+\left(5 \cdot \sin 95^{\circ}+10 \cdot \sin 35^{\circ}\right)^{2}} \mathrm{~cm}<br />\]</p>
<p>\[<br />\quad \quad \quad \ \  =13,2 \mathrm{~cm}<br />\]</p>


<p>\[<br />\varphi=\operatorname{Arc} \underline{\hat{Z}}<br />\]</p>


<p>\[<br />\quad =\arctan \left(\frac{\operatorname{Im} \underline{\hat{Z}}_{1}+\operatorname{Im} \underline{\hat{Z}}_{2}}{\operatorname{Re} \underline{\hat{Z}}_{1}+\operatorname{Re} \underline{\hat{Z}}_{2}}\right)<br />\]</p>
<p>\[<br />\quad =54,1^{\circ}<br />\]</p>


<p>\[<br />\Rightarrow \underline{\hat{Z}}=\underline{\hat{Z}}_{1}+\underline{\hat{Z}}_{2}=13,2 \mathrm{cm \ e}^{\mathrm{j} 54,1^{\circ}}<br />\]</p>


<p>3. Wie verändert sich die Gesamtschwingung in $ 1 . $, wenn zusätzlich eine weitere harmonische Schwingung mit $ \hat{Z}_{3}=2 \mathrm{~cm} $ und $ \varphi_{3}=25^{\circ} $ überlagert wird?</p>


<p>3. Wie verändert sich die Gesamtschwingung in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" 1 . " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.76ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 778 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-283-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-283-TEX-N-2E" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-283-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(500,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-283-TEX-N-2E"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, wenn zusätzlich eine weitere harmonische Schwingung mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \hat{Z}_{3}=2 \mathrm{~cm} " style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.136ex" height="2.752ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1051 4480.1 1216.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-284-TEX-I-1D44D" d="M58 8Q58 23 64 35Q64 36 329 334T596 635L586 637Q575 637 512 637H500H476Q442 637 420 635T365 624T311 598T266 548T228 469Q227 466 226 463T224 458T223 453T222 450L221 448Q218 443 202 443Q185 443 182 453L214 561Q228 606 241 651Q249 679 253 681Q256 683 487 683H718Q723 678 723 675Q723 673 717 649Q189 54 188 52L185 49H274Q369 50 377 51Q452 60 500 100T579 247Q587 272 590 277T603 282H607Q628 282 628 271Q547 5 541 2Q538 0 300 0H124Q58 0 58 8Z"></path><path id="MJX-284-TEX-N-5E" d="M112 560L249 694L257 686Q387 562 387 560L361 531Q359 532 303 581L250 627L195 580Q182 569 169 557T148 538L140 532Q138 530 125 546L112 560Z"></path><path id="MJX-284-TEX-N-33" d="M127 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182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q351 442 364 440T387 434T406 426T421 417T432 406T441 395T448 384T452 374T455 366L457 361L460 365Q463 369 466 373T475 384T488 397T503 410T523 422T546 432T572 439T603 442Q729 442 740 329Q741 322 741 190V104Q741 66 743 59T754 49Q775 46 803 46H819V0H811L788 1Q764 2 737 2T699 3Q596 3 587 0H579V46H595Q656 46 656 62Q657 64 657 200Q656 335 655 343Q649 371 635 385T611 402T585 404Q540 404 506 370Q479 343 472 315T464 232V168V108Q464 78 465 68T468 55T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44D" xlink:href="#MJX-284-TEX-I-1D44D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(454.8,257) translate(-250 0)"><use data-c="5E" xlink:href="#MJX-284-TEX-N-5E"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(716,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-284-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1397.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-284-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2453.1,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-284-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2953.1,0)"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-284-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250,0)"><use data-c="63" xlink:href="#MJX-284-TEX-N-63"></use><use data-c="6D" xlink:href="#MJX-284-TEX-N-6D" transform="translate(444,0)"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \varphi_{3}=25^{\circ} " style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.735ex" height="2.093ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -707 3860.7 925" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-285-TEX-I-1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path><path id="MJX-285-TEX-N-33" d="M127 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149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-285-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-285-TEX-N-2218" d="M55 251Q55 328 112 386T249 444T386 388T444 249Q444 171 388 113T250 55Q170 55 113 112T55 251ZM245 403Q188 403 142 361T96 250Q96 183 141 140T250 96Q284 96 313 109T354 135T375 160Q403 197 403 250Q403 313 360 358T245 403Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D711" xlink:href="#MJX-285-TEX-I-1D711"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(687,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-285-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1368.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-285-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2424.1,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-285-TEX-N-32"></use><use data-c="35" xlink:href="#MJX-285-TEX-N-35" transform="translate(500,0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1033,393.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2218" xlink:href="#MJX-285-TEX-N-2218"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> überlagert wird?</p>


<p>\[<br />\underline{\hat{Z}}=\underline{\hat{Z}}_{1}+\underline{\hat{Z}}_{2}+\underline{\hat{Z}}_{3}<br />\]</p>


<p>\[<br />\quad =13,2 \mathrm{~cm} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j} 54,1^{\circ}}+2 \mathrm{~cm} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j} 25^{\circ}}<br />\]</p>
<p>\[<br />\quad =15 \mathrm{~cm} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j} 50,4^{\circ}}<br />\]</p>


<p>\[\Rightarrow<br />Z(t)=15 \mathrm{~cm} \cdot \cos \left(\omega t+50,4^{\circ}\right)<br />\]</p>

<p>Zwei harmonische Schwingungen gleicher Frequenz und Richtung (Amplituden: $ \hat{Z}_{1}=5 \mathrm{~cm} $, $ \hat{Z}_{2}=10 \mathrm{~cm} $, Nullphasenwinkel: $ \left.\varphi_{1}=95^{\circ}, \varphi_{2}=35^{\circ}\right) $ überlagern sich.</p>
<ol>
<li>Geben Sie die Gesamtschwingung $ Z(t) $ an.</li>
<li>Berechnen Sie das Ergebnis aus 1. durch Verwendung komplexer Amplituden.</li>
<li>Wie verändert sich die Gesamtschwingung in $ 1 . $, wenn zusätzlich eine weitere harmonische Schwingung mit $ \hat{Z}_{3}=2 \mathrm{~cm} $ und $ \varphi_{3}=25^{\circ} $ überlagert wird?</li>
</ol>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Schwingungen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: