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Aufgabenstellung:

Unter Normbedingungen (d. h und ) ist die Dichte des Gases Wasserstoff

Behandeln Sie Wasserstoff als ideales zweiatomiges Gas.

  1. Leiten Sie für die Versuchsbedingung 'isobarer Prozess' eine Beziehung für die Abhängigkeit der Dichte von der absoluten Temperatur her.
  2. Zeichnen Sie für Wasserstoff ein Diagramm, das die Dichte in Abhängigkeit von im Temperaturbereich darstellt.

Lösungsweg:

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Vorbemerkung

In der Aufgabenstellung ist die Dichte bei Normbedingungen angegeben. Die Normdichte kann aus der molaren Masse und dem molaren Normvolumen bestimmt werden.

Anwendung der Zustandsgleichung eines idealen Gases für die Stoffmenge bei Normbedingungen und liefert für das molare Normvolumen

Die molare Masse von Wasserstoff ist Damit ist die Normdichte festgelegt, sie ergibt den in der Aufgabenstellung angegebenen Tabellenwert.
Da die molare Masse von Wasserstoff den kleinsten Wert aller gasförmigen Stoffe hat, ist auch die Normdichte die kleinste (für Substanzen, die bei Normbedingungen in gasförmiger Phase vorliegen).

(a) Beziehung für die Abhängigkeit der Dichte von der absoluten Temperatur

Der Zusammenhang zwischen Dichte und Temperatur für eine isobare Zustandsänderung const. kann aus der Definition der Dichte

auf zwei Lösungswegen bestimmt werden.

(1) Aus der Zustandsgleichung eines idealen Gases

folgt mit der Definition der Teilchenmenge , der AVOGADRO Konstante und der Masse eines Einzelmoleküls

die Zustandsgleichung in massebezogener Schreibweise

Nach Umstellung erhält man

mit

und [individuelle Gaskonstante]

ergibt sich

(2) Man geht unmittelbar von der - oben hergeleiteten - Zustandsgleichung in massebezogener Schreibweise aus

Dabei ist die individuelle Gaskonstante

Durch Umstellen ergibt sich

und schließlich das bereits oben dargestellte Ergebnis

Bei einem isobaren Prozess wird experimentell der Druck konstant gehalten. Damit stehen auf den rechten Seiten der beiden oben hergeleiteten Gleichungen jeweils eine Konstante und für den Zusammenhang zwischen Dichte und absoluter Temperatur gilt

oder

Für ein ideales Gas ist bei konstant gehaltenem Druck die Dichte umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur T. Die zugehörige mathematische Kurvengleichung ist eine Hyperbel.

Für die grafische Darstellung dieser Beziehung ist zunächst die Konstante in der Hyperbelgleichung zu bestimmen. Danach ist ein Diagramm zu zeichnen. Die Konstante lässt sich aus der Dichte für den Normzustand bestimmen; denn die obige Beziehung gilt für alle Wertepaare von Dichte und Temperatur. Damit

Einschlägigen Tabellenwerken/Taschenbüchern entnimmt man für Wasserstoff die in der Aufgabenstellung vorgegebenen Normdichte

Zweckmäßigerweise formt man die Einheit der Dichte auf die abgeleitete SI-Einheit um; man erhält mit und also für die Normdichte

Damit bestimmt sich die Konstante in der obigen Hyperbelgleichung zu

Die Dichte für eine vorgegebene Temperatur bei konstantem Druck - erhält man aus

Beispiel

Legt man klassisch eine Wertetabelle an, so erhält man

Diese Werte sind im Diagramm gegen aufgetragen. Es ist wichtig, in der Darstellung den Parameter Druck anzugeben, für den das Diagramm gilt.

b) Diagramm

Skizze

Abbildung

Lösung:

  2. siehe Musterlösung