MIMO-System

Sensitivität

Sprungfunktion

Schwingung

Laplace-Transformation

Linearisierung nichtlinearer Systeme

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>\[<br />f(t)=\frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\left(1-(-1)^{k}\right) \sin (k \omega t) <br />\]</p>

<p>Für das Rechtecksignal in der Abbildung gilt</p>


<p>\( f(t)= \begin{cases}0, &amp; t=0, T / 2, T \\ 1, &amp; 0 &lt; t &lt; T / 2 \\ -1, &amp; T / 2 &lt; t &lt; T\end{cases}\)</p>


<p>Es handelt sich also um eine ungerade Funktion mit \( f(-t)=-f(t) \) für alle \( t \in \mathbb{R}. \) Somit folgt \( a_{0}=a_{k}=0 \) für alle \( k \in \mathbb{N} \) und für \( b_{k} \) gilt</p>


<p>Es handelt sich also um eine ungerade Funktion mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" f(-t)=-f(t) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.18ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6267.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2433-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-2433-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2433-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-2433-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-2433-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2433-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-2433-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-2433-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(939,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-2433-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1717,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-2433-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2078,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-2433-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2744.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2433-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3800.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-2433-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4578.6,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-2433-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5128.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-2433-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5517.6,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-2433-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5878.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-2433-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" t \in \mathbb{R}. " style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.845ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2583.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2434-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-2434-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-2434-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 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data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-2435-TEX-I-1D458"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3557.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2435-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4613.1,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-2435-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" k \in \mathbb{N} " style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.578ex" height="1.661ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2465.6 734" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2436-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 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541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-2436-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(798.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-2436-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1743.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-2436-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> und für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" b_{k} " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.992ex" height="1.927ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 880.4 851.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2437-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-2437-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-2437-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(462,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-2437-TEX-I-1D458"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> gilt</p>


<p>\[<br />b_{k}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin (k \omega t) \mathrm{d} t <br />\]</p>


<p>\[<br />\quad \,=\frac{2}{T}\left(\int_{0}^{T / 2} 1 \cdot \sin (k \omega t) \mathrm{d} t+\int_{T / 2}^{T}(-1) \cdot \sin (k \omega t) \mathrm{d} t\right) <br />\]</p>


<p>\[<br />\quad \,=\frac{2}{T}\left(\left[-\frac{1}{k \omega} \cos (k \omega t)\right]_{0}^{T / 2}+\left[\frac{1}{k \omega} \cos (k \omega t)\right]_{T / 2}^{T}\right) <br />\]</p>


<p>\[<br />\quad \,=\frac{2}{T}\left(-\frac{1}{k \omega} \cos (k \pi)+\frac{1}{k \omega} \cos (0)+\frac{1}{k \omega} \cos (k 2 \pi)-\frac{1}{k \omega} \cos (k \pi)\right) <br />\]</p>
<p>\[<br />\quad \,=\frac{2}{k \omega T}(2-2 \cos (k \pi)) <br />\]</p>


<p>Mit</p>
<p>\[<br />\quad \cos (k \pi)=\left\{\begin{array}{lll}1, &amp; k \equiv 0 &amp; \bmod 2 \\ -1, &amp; k \equiv 1 &amp; \bmod 2\end{array}\right. <br />\]</p>
<p>folgt schließlich (die Schreibweise \( k \equiv 1 \bmod 2 \) bedeutet, dass \( k-1 \) durch 2 ganzzahlig teilbar ist.)</p>


<p>Mit</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\quad \cos (k \pi)=\left\{\begin{array}{lll}1, & k \equiv 0 & \bmod 2 \\ -1, & k \equiv 1 & \bmod 2\end{array}\right. 
" style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="33.638ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 14867.9 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2443-TEX-N-63" d="M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z"></path><path id="MJX-2443-TEX-N-6F" d="M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 246V226Q126 130 145 91Q177 30 250 30Z"></path><path id="MJX-2443-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 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transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7B" xlink:href="#MJX-2443-TEX-S3-7B"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(750,0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(500,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-2C"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2556,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-2443-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(798.8,0)"><use data-c="2261" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-2261"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1854.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(5910.6,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="6D" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-6D"></use><use data-c="6F" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-6F" 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xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(5910.6,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="6D" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-6D"></use><use data-c="6F" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-6F" transform="translate(833,0)"></use><use data-c="64" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-64" transform="translate(1333,0)"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2166.8,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9327.3,0) translate(0 250)"></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p>folgt schließlich (die Schreibweise <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" k \equiv 1 \bmod 2 " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.989ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 5299.1 705" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2444-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-2444-TEX-N-2261" d="M56 444Q56 457 70 464H707Q722 456 722 444Q722 430 706 424H72Q56 429 56 444ZM56 237T56 250T70 270H707Q722 262 722 250T707 230H70Q56 237 56 250ZM56 56Q56 71 72 76H706Q722 70 722 56Q722 44 707 36H70Q56 43 56 56Z"></path><path id="MJX-2444-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2444-TEX-N-6D" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 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464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-2444-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(798.8,0)"><use data-c="2261" xlink:href="#MJX-2444-TEX-N-2261"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1854.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-2444-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2632.3,0)"><use data-c="6D" xlink:href="#MJX-2444-TEX-N-6D"></use><use data-c="6F" xlink:href="#MJX-2444-TEX-N-6F" transform="translate(833,0)"></use><use data-c="64" xlink:href="#MJX-2444-TEX-N-64" transform="translate(1333,0)"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4799.1,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-2444-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container> bedeutet, dass <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" k-1 " style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.076ex" height="1.756ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2243.4 776" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2445-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-2445-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-2445-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-2445-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(743.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-2445-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1743.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-2445-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container> durch 2 ganzzahlig teilbar ist.)</p>


<p>\[<br />b_{k}=\frac{2}{k \pi}\left(1-(-1)^{k}\right) <br />\]</p>


<p>\[<br />f(t)=\frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\left(1-(-1)^{k}\right) \sin (k \omega t) <br />\]</p>
<p>Man erkennt, dass die Fourierreihe an den Stellen \( t=n T / 2 \) für alle \( n \in \mathbb{Z} \) gleich dem Funktionswert \( f(n T / 2)=0 \) ist. Wäre in der Definition der Funktion beispielsweise \( f(n T / 2)=1 \) gesetzt worden, ergäben sich die gleichen Koeffizienten und die Fourierreihe würde an den Stellen \( t=n T / 2 \) vom Funktionswert abweichen. Folglich ist bei der Entwicklung von Fourierriehen besonders auf das Verhalten an Sprungstellen zu achten.</p>

<p>Man berechne die reelle Fourierreihe des in der Abbildung dargestellten periodischen Rechtecksignals. An den Sprungstellen nehme das Signal den Wert \( f(n T / 2)=0 \) für alle \( n \in \mathbb{Z} \) an.</p>
<p><img style="width: 69%; height: auto; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61b36e4c64718b3664ce7014.jpeg" alt="T-periodisches Rechtecksignal" width="896" height="332" /></p>

<p>Man berechne die reelle Fourierreihe des in der Abbildung dargestellten periodischen Rechtecksignals. An den Sprungstellen nehme das Signal den Wert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" f(n T / 2)=0 " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.366ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5465.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2430-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-2430-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2430-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2430-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 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<p><img style="width: 69%; height: auto; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61b36e4c64718b3664ce7014.jpeg" alt="T-periodisches Rechtecksignal" width="896" height="332" /></p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Sprungfunktion mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Dynamische Systeme - Sprungfunktion | Aufgabe mit Lösung

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: