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Aufgabenstellung:

Gegeben sei das MIMO System

Das System wird ab dem Zeitpunkt mit folgendem Eingangssignal angeregt:

Lösen Sie folgende Teilaufgaben:

  1. Wie müssen die Parameter und gewählt werden, damit für das Ausgangssignal
    im eingeschwungenen Zustand gilt: .
  2. Setzen Sie nun . Wie muss der Parameter gewählt werden, damit die euklidische Norm minimiert wird.

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

a) Parameter und

Beide Komponenten des Eingangssignal weisen eine Frequenz von auf. Man betrachtet also :

Wenn das System nach der Anregung vollständig eingeschwungen ist, kann man das Ausgangssignal schreiben als

Dabei gilt für den "Phasor"

Brüche komplex erweitern

Exponentialfunktion aufteilen

weiter Umformungen

Setzt man diese Gleichung 0 ergibt sich ein Gleichungssystem für die zwei Unbekannten und mit der Lösung:

Lösungen:

b) Parameter

Ziel ist es, die Norm zu minimieren. Das Quadrat davon kann geschrieben werden als:

Für kann geschrieben werden als:

Wir regen mit einer Frequenz von an. Für erhalten wir:

Nach einigen Umformungen erhalten wir:

Ableiten und gleich 0 setzen um das Minimum zu suchen:

Das führt zu der Lösung:

wobei die Lösungen für ungerade den Minimas der Funktion entsprechen.

Die gesuchte Lösung ist also:

Lösung: