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Aufgabenstellung:

Betrachtet wird der folgende Regelkreis:

Abbildung

a) Bestimmen Sie den Frequenzgang der Regelstrecke in doppelbruchfreier Form.

Nachfolgend ist die Ortskurve der Regelstrecke abgebildet:

Abbildung

b) Bestimmen Sie und .
c) Ist das vereinfachte Nyquist-Kriterium zur Beurteilung der Stabilität des geschlossenen Regelkreises anwendbar? Begründen Sie Ihre Antwort!
d) Geben Sie den Bereich für an, für den der geschlossene Regelkreis stabil ist.

Lösungsweg:

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a) 

b) Bestimme und

aus dem Grenzwertsatz:

Frequenzgang in Standardform bringen, um zu bestimmen:

Eckkreisfrequenz bei Phasenänderung, also

c) Anwendbarkeit des vereinfachten Nyquist-Kriterium

Prüfe: Der aufgeschnittene Regelkreis muss stabil sein oder integrierendes Verhalten aufweisen.

Da gilt ist instabil. Damit ist auch der aufgeschnittene Regelkreis instabil.

Die Bedingung ist nicht erfüllt.

Bemerkung: Für die Anwendbarkeit des vereinfachten Nyquist-Kriteriums müssen beide Bedingungen erfüllt sein. Es genügt also normalerweise der Nachweis, dass eine Bedingung verletzt ist.

Prüfe: Die Ortskurve des Frequenzgangs darf die reelle Achse nur so schneiden, dass die Frequenz beim Übergang vom dritten in den zweiten Quadranten zunimmt.

Die Bedingung ist nicht erfüllt.

Das vereinfachte Nyquist-Kriterium ist hier nicht anwendbar.

d) Bereich für

Anwendung des Nyquist-Kriteriums:

hat eine Polstelle in der rechten s-Halbebene

Für Stabilität des geschlossenen Regelkreises muss gelten

Wähle so, dass

Lösung:

  2.   ; 
  3. nicht anwendbar