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Aufgabenstellung:

Gegeben ist ein open-loop gain als rationale Funktion (Hinweis: Eine rationale Funktion ist als Bruch zweier Polynome darstellbar) mit rein reellen Koeffizienten:

 

Beweisen Sie, dass dass Nyquist Diagramm von für einer Spiegelung des Nyquist Diagramms von für an der rellen Achse der komplexen Ebene entspricht.

Sie können dabei wie folgt vorgehen:

  1. Zeigen Sie, dass für ein nach Gl. (1) gilt, dass:
  2. Verwenden Sie den Zusammenhang in Gl. (2) um den Beweis fertig zu führen.

Lösungsweg:

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Spiegelung des Nyquist Diagramms von  

Gegeben ist ein open-loop gain als rationale Funktion:

1. Wir zeigen, dass für ein nach Gl. (1) gilt, dass:

Dafür setzen wir in Gl. (1) ein:

Für die Terme gilt:

ä

Das heisst im allgemeinen Fall ergeben sich in Gl. (3) sowohl im Nenner als auch im Zähler komplexe Zahlen:

Dieser Ausdruck entspricht einer komplexen Zahl:

2. Eine Zahl entspricht genau dann einer Spiegelung einer anderen Zahl an der reellen Achse, wenn die konjugiert komplexe Zahl von ist, , d.h. wenn gilt und . Wenn wir also zeigen können, dass ist, haben wir bewiesen, dass das Nyquist Diagramm einer Funktion in Frequenzbereich einer Spiegelung des Nyquist Diagramms derselbe Funktion im Frequenzbereich entpricht.

Durch Einsetzen einer negativen Frequenz in Gl. (4) ist der Beweis erbracht:

,

also gilt

Lösung:

siehe Musterlösung