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Aufgabenstellung:

Gegeben sei das folgende lineare zeitinvariante System,

  1. Beurteilen Sie die Lyapunov-Stabilität des Gleichgewichtspunktes des Systems.
  2. Untersuchen Sie die Steuerbarkeit des Systems.
  3. Untersuchen Sie die Beobachtbarkeit des Systems.

Lösungsweg:

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a) Lyapunov-Stabilität

Die Lyapunov Stabilität eines Gleichgewichtspunktes eines linearen, zeitinvarianten Systems kann anhand des Realteils der Eigenwerte der Systemmatrix beurteilt werden. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, d.h. sie können durch den Zusammenhang

berechnet werden. Es gilt:

  • der Gleichgewichtspunkt asymptotisch stabil.
  • für mindestens der Gleichgewichtspunkt ist instabil.
  • und System diagonalisierbar (Systemmatrix muss vollen Rang haben) der Gleichgewichtspunkt ist stabil, aber nicht asymptotisch stabil. Ist das System nicht diagonalisierbar und tritt mehrfach auf, so kann der Gleichgewichtspunkt instabil sein.

Für das gegebene System gilt somit

und infolgedessen , womit der Gleichgewichtspunkt instabil ist.

b) Steuerbarkeit 

Ein lineares, zeitinvariantes System ist genau dann vollständig steuerbar (completely controllable) bzw. vollständig steuerbar (completely reachable), wenn die Steuerbarkeitsmatrix vollen Rang hat,

ä

Eine quadratische Matrix hat genau dann vollen Rang (sie ist regulär), wenn ihre Determinante von Null verschieden ist bzw. Null keiner ihrer Eigenwerte ist.

Ein lineares, zeitinvariantes System wird potentiell stabilisierbar (potentially stabilizable) genannt, wenn alle nicht steuerbaren Zustandsvariablen asymptotisch stabil sind.
Sind darüber hinaus alle nicht beobachtbaren Zustandsvariablen asymptotisch stabil (auch entdecktbar bzw. ermittelbar genannt), ist das System vollständig stabilisierbar (completely stabilizable).

Für das System lautet die Steuerbarkeitsmatrix:

Bemerkung: Die erste Zeile von ist ein Nullvektor.

Offensichtlich hat nicht vollen Rang , womit das System nicht vollständig steuerbar ist.

c) Beobachtbarkeit

Ein lineares, zeitinvariantes System ist genau dann vollständig beobachtbar (completely observable), wenn die Beobachtbarkeitsmatrix vollen Rang hat,

ä

Die Beobachtbarkeitsmatrix berechnet sich für das System zu:

Bemerkung: Die dritte Spalte von ist ein Nullvektor.

Offensichtlich hat nicht vollen Rang , womit das System nicht vollständig beobachtbar ist.

Lösung:

  1. Gleichgewichtspunkt instabil 
  2. System nicht vollständig steuerbar
  3. System nicht vollständig beobachtbar