Beobachtbarkeit

Steuerbarkeit

Modellierung

Diskretisierung

Zustandsraumdarstellung

Stabilität

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>instabil, vollständig steuerbar, \(<br />\boldsymbol{k}^{T}=\left[\begin{array}{ll}4 &amp; -8\end{array}\right] <br />\)</p>

<p>instabil, vollständig steuerbar, <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="
\boldsymbol{k}^{T}=\left[\begin{array}{ll}4 & -8\end{array}\right] 
" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.241ex" height="2.47ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -841.7 5852.4 1091.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2016-TEX-BI-1D48C" d="M99 -8Q71 -8 58 9T45 39Q45 51 116 336L188 622H184Q183 622 179 622T169 623T157 624T146 624T136 624T131 625Q119 628 119 642Q119 647 123 661T129 679Q133 684 144 685T220 690Q293 694 307 694Q324 694 328 679Q328 674 280 482Q231 290 231 287Q231 285 234 286Q259 302 294 334T356 390T420 433T493 452Q528 452 546 427T564 364Q564 308 538 282T480 256Q456 256 441 269T425 308Q425 339 444 359T483 384L502 389Q502 395 496 398Q493 400 483 400Q465 400 449 395T409 374T373 347T323 305T268 257Q274 256 282 256Q312 251 329 247T371 232T411 202Q431 181 431 146Q431 132 427 110T422 73Q422 44 440 44H442Q462 44 478 64T502 102T514 141Q518 157 522 159T547 162H558Q578 162 578 148Q578 118 537 56T440 -7H432Q374 -7 337 21T299 94Q299 103 301 116T304 139Q304 164 281 181T235 202L212 206H211Q176 47 160 24Q137 -8 99 -8Z"></path><path id="MJX-2016-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-2016-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2016-TEX-N-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path id="MJX-2016-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-2016-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-2016-TEX-N-38" d="M70 417T70 494T124 618T248 666Q319 666 374 624T429 515Q429 485 418 459T392 417T361 389T335 371T324 363L338 354Q352 344 366 334T382 323Q457 264 457 174Q457 95 399 37T249 -22Q159 -22 101 29T43 155Q43 263 172 335L154 348Q133 361 127 368Q70 417 70 494ZM286 386L292 390Q298 394 301 396T311 403T323 413T334 425T345 438T355 454T364 471T369 491T371 513Q371 556 342 586T275 624Q268 625 242 625Q201 625 165 599T128 534Q128 511 141 492T167 463T217 431Q224 426 228 424L286 386ZM250 21Q308 21 350 55T392 137Q392 154 387 169T375 194T353 216T330 234T301 253T274 270Q260 279 244 289T218 306L210 311Q204 311 181 294T133 239T107 157Q107 98 150 60T250 21Z"></path><path id="MJX-2016-TEX-N-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D48C" xlink:href="#MJX-2016-TEX-BI-1D48C"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(637,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-2016-TEX-I-1D447"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1462.6,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2016-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2518.4,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="5B" xlink:href="#MJX-2016-TEX-N-5B"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(278,0)"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-2016-TEX-N-34"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-2016-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778,0)"><use data-c="38" xlink:href="#MJX-2016-TEX-N-38"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3056,0)"><use data-c="5D" xlink:href="#MJX-2016-TEX-N-5D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Gegeben ist das LTI-System</p>
<p>\[ \quad \dot{x}=\underbrace{\left[\begin{array}{cc}3 &amp; 0 \\ -5 &amp; 10\end{array}\right]}_{A} x+\underbrace{\left[\begin{array}{l}6 \\ 0\end{array}\right]}_{b} u, \quad t &gt; 0, \  x_{0}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right] \]</p>
<p>\[<br />\quad y=\underbrace{\left[\begin{array}{ll}1 &amp; 2\end{array}\right]}_{c^{T}} x, \quad t \geq 0 <br />\]</p>
<p>der dimension \( n=2 \).</p>


<p>Zunächst wird die Stabilität des Systems mit Hilfe der Eigenwerte der Dynamikmatrix A untersucht</p>


<p>\[<br />p(\lambda)=\operatorname{det}(\lambda E-A)=\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{cc}\lambda-3 &amp; 0 \\ 5 &amp; \lambda-10\end{array}\right]\right)=(\lambda-3)(\lambda-10) <br />\]</p>


<p>Da beide Eigenwerte \( \lambda_{1}=3 \) und \( \lambda_{2}=10 \) einen positiven Realteil haben ist das System folglich instabil.</p>


<p>Da beide Eigenwerte <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \lambda_{1}=3 " style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.455ex" height="1.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2853.1 844" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2008-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-2008-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path 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data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D706" xlink:href="#MJX-2008-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(616,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-2008-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1297.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2008-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2353.1,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-2008-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \lambda_{2}=10 " style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.586ex" height="1.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 3353.1 844" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2009-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-2009-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-2009-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2009-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2009-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D706" xlink:href="#MJX-2009-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(616,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-2009-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1297.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2009-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2353.1,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-2009-TEX-N-31"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJX-2009-TEX-N-30" transform="translate(500,0)"></use></g></g></g></svg></mjx-container> einen positiven Realteil haben ist das System folglich instabil.</p>


<p>Die Steuerbarkeit des Systems wird mit Hilfe der Kalmanschen Steuerbarkeitsmatrix überprüft</p>


<p>\[<br />S(A, b)=\left[\begin{array}{ll}b &amp; A b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6 &amp; 18 \\ 0 &amp; -30\end{array}\right] <br />\]</p>


<p>Da diese vollen Rang hat ist das System vollständig steuerbar.</p>


<p>Um einen geeigneten Regler zu entwerfen wird zunächst das charakteristische Polynom des geschlossenen Regelkreises bestimmt.</p>


<p>\[<br />\begin{aligned} \operatorname{det}\left(\lambda E-\left(A-b k^{T}\right)\right) &amp;=\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{cc}\lambda-3+6 k_{1} &amp; 6 k_{2} \\ 5 &amp; \lambda-10\end{array}\right]\right) \\\\ &amp;=\lambda^{2}+\left(-3+6 k_{1}-10\right) \lambda+30-60 k_{1}-30 k_{2} \end{aligned} <br />\]</p>


<p>Ein Koeffizientenvergleich mit dem gewünschten charakteristischen Polynom \(p^{*}(\lambda)=(\lambda+5)(\lambda+6)=\lambda^{2}+11 \lambda+30\) führt auf das zu lösende Gleichungssystem</p>


<p>Ein Koeffizientenvergleich mit dem gewünschten charakteristischen Polynom <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="p^{*}(\lambda)=(\lambda+5)(\lambda+6)=\lambda^{2}+11 \lambda+30" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="38.873ex" height="2.452ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 17182 1083.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2012-TEX-I-1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path><path id="MJX-2012-TEX-N-2217" d="M229 286Q216 420 216 436Q216 454 240 464Q241 464 245 464T251 465Q263 464 273 456T283 436Q283 419 277 356T270 286L328 328Q384 369 389 372T399 375Q412 375 423 365T435 338Q435 325 425 315Q420 312 357 282T289 250L355 219L425 184Q434 175 434 161Q434 146 425 136T401 125Q393 125 383 131T328 171L270 213Q283 79 283 63Q283 53 276 44T250 35Q231 35 224 44T216 63Q216 80 222 143T229 213L171 171Q115 130 110 127Q106 124 100 124Q87 124 76 134T64 161Q64 166 64 169T67 175T72 181T81 188T94 195T113 204T138 215T170 230T210 250L74 315Q65 324 65 338Q65 353 74 363T98 374Q106 374 116 368T171 328L229 286Z"></path><path id="MJX-2012-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2012-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-2012-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2012-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2012-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-2012-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-2012-TEX-N-36" d="M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 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<p>Die Reglerkoeffizienten der Zustandsrückführung können nun direkt bestimmt werden</p>


<p>\[<br />\boldsymbol{k}^{T}=\left[\begin{array}{ll}4 &amp; -8\end{array}\right] <br />\]</p>

<p>Gegeben ist ein lineares zeitinvariantes System der Form</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />\begin{array}{ll}\dot{x}=\left[\begin{array}{cc}3 &amp; 0 \\ -5 &amp; 10\end{array}\right] x+\left[\begin{array}{l}6 \\ 0\end{array}\right] u, &amp; t &gt; 0, x_{0}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right] \\\\ y=\left[\begin{array}{ll}1 &amp; 2\end{array}\right] \boldsymbol{x}, \quad  t \geq 0 .\end{array} <br />\]</p>
<p>Untersuchen Sie das System auf Stabilität und vollständige Steuerbarkeit. Entwerfen Sie für das System eine Zustandsrückführung \( k^{T} \) so, dass die Pole des geschlossenen Kreises bei \( \lambda_{1}^{*}=-5 \) und \( \lambda_{2}^{*}=-6 \) liegen, ohne dabei die Formel von Ackermann zu verwenden.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Steuerbarkeit mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Zeitdiskrete und kontinuierliche Systeme - Steuerbarkeit | Aufgabe mit

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: