Rikuti

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

<p>\[<br />A_{k}=\{k \text {-tes Kind bekommt eigenes Päckchen }\}, \quad k=1 . .12<br />\]</p>


<p>\[ B=\{ \text {kein Kind bekommt eigenes Päckchen}\}=\overline{A_{1}} \cap \overline{A_{2}} \cap \ldots \cap \overline{A_{12}} \] ( \( A_{k} \) sind nicht unabhängig)</p>


<p>\[ \bar{B}=\{ \text {mind. ein Kind bekommt eigenes Päckchen } \}=A_{1} \cup A_{2} \cup \ldots \cup A_{12} \]</p>
<p>( \( A_{k} \) nicht einander ausschließend)</p>


<p>\[ \mathbf{P}(B)=1-\mathbf{P}(\bar{B})=1-\mathbf{P}\left(A_{1} \cup A_{2} \cup \ldots \cup A_{12}\right) \]</p>


<p>nutzen verallgemeinerten Additionssatz ( Satz von Poincaré ):</p>


<p>\[<br />\mathbf{P}\left(A_{1} \cup A_{2}\right)=\mathbf{P}\left(A_{1}\right)+\mathbf{P}\left(A_{2}\right)-\mathbf{P}\left(A_{1} \cap A_{2}\right)<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\mathbf{P}\left(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}\right)=&amp; \mathbf{P}\left(A_{1}\right)+\mathbf{P}\left(A_{2} \cup A_{3}\right)-\mathbf{P}\left(A_{1} \cap\left(A_{2} \cup A_{3}\right)\right) \\<br />=&amp; \mathbf{P}\left(A_{1}\right)+\mathbf{P}\left(A_{2}\right)+\mathbf{P}\left(A_{3}\right) \\<br />&amp;-\mathbf{P}\left(A_{1} \cap A_{2}\right)-\mathbf{P}\left(A_{2} \cap A_{3}\right)-\mathbf{P}\left(A_{1} \cap A_{3}\right)+\mathbf{P}\left(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}\right) \\<br />=&amp; \sum_{1 \leq i_{1} \leq 3} \mathbf{P}\left(A_{i_{1}}\right)-\sum_{1 \leq i_{1} &lt; i_{2} \leq 3} \mathbf{P}\left(A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}}\right)+\mathbf{P}\left(A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} \cap A_{i_{3}}\right)<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\mathbf{P}\left(A_{1} \cup \cdots \cup A_{n}\right) &amp;=\sum_{1 \leq i_{1} \leq n} \mathbf{P}\left(A_{i_{1}}\right)-\sum_{1 \leq i_{1} &lt; i_{2} \leq n} \mathbf{P}\left(A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}}\right)+\cdots+(-1)^{n-1} \mathbf{P}\left(A_{i_{1}} \cap \cdots \cap A_{i_{n}}\right) \\<br />&amp;=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} S_{k} \quad \text { mit } S_{k}=\sum_{1 \leq i_{1} &lt; \cdots &lt; i_{k} \leq n} \mathbf{P}\left(A_{i_{1}} \cap \cdots \cap A_{i_{k}}\right)<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>Anzahl der Summanden in \( S_{k}:\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \) (vgl. ungeordnete Stichprobe, keine Wiederholungen) hier: \( n=12 \) :</p>


<p>Anzahl der Summanden in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" S_{k}:\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) " style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.982ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 3970 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z"></path><path id="MJX-10-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-10-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 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data-mml-node="mn" transform="translate(1933.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-11-TEX-N-31"></use><use data-c="32" xlink:href="#MJX-11-TEX-N-32" transform="translate(500,0)"></use></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>


<p>\[<br />\mathbf{P}\left(A_{i_{1}}\right)=\frac{11 !}{12 !} \quad \Rightarrow S_{1}=12 \cdot \frac{11 !}{12 !}=1<br />\]</p>


<p>\[<br />\mathbf{P}\left(A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}}\right)=\frac{10 !}{12 !} \quad \Rightarrow S_{2}=\left(\begin{array}{c}<br />12 \\<br />2<br />\end{array}\right) \cdot \frac{10 !}{12 !}=\frac{1}{2 !}\]</p>


<p>\[<br />\mathbf{P}\left(A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} \cdots \cap A_{i_{k}}\right)=\frac{(12-k) !}{12 !} \Rightarrow S_{k}=\left(\begin{array}{c}<br />12 \\<br />k<br />\end{array}\right) \cdot \frac{(12-k) !}{12 !}=\underset{\text { vgl. }(*)}{=} \frac{1}{k !}<br />\]</p>


<p>\[\Rightarrow<br />\mathbf{P}(B)=1-\sum_{k=1}^{12}(-1)^{k-1} \frac{1}{k !}=0.3679 \underset{\operatorname{vgl} .(* *)}{\approx} \frac{1}{e}<br />\]</p>


<p>\[<br />\left(\begin{array}{l}<br />n \\<br />k<br />\end{array}\right) \cdot \frac{(n-k) !}{n !}=\frac{n !}{(n-k) ! k !} \cdot \frac{(n-k) !}{n !}=\frac{1}{k !}<br />\]</p>


<p>\[<br />\frac{1}{e}=e^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k !}=1-\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k !}<br />\]</p>

<p>Bei einer Nikolausfeier im Kindergarten bringt jedes der 12 Kinder ein Päckchen mit, welches der Nikolaus in seinen Sack steckt. Später verteilt er die 12 Päckchen wieder zufällig an die Kinder. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß keines der Kinder sein eigenes Päckchen zurückbekommt ?</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Rikuti mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: