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Beweise per vollständiger Induktion, dass für alle gilt:

 

Die n-te Ableitung von

 

ist gegeben durch:

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Schritt der Lösung anzuzeigen.

1. Induktionsanfang:

Für ergibt sich mit der Funktion

Somit ist die kleinste natürliche Zahl, für die die Aussage gilt.

2. Induktionsvoraussetzung (IV):

Es existiert ein , sodass die n-te Ableitung von durch gegeben ist.

3. Induktionsbehauptung und Induktionsschluss:

Induktionsbehauptung:

Mit folgt:

Induktionsschluss:

Schreibe die linke Seite um und setze ein:

Nutze, dass gilt und berechne die innere Ableitung:

Ziehe den Faktor vor und setze die Induktionsvoraussetzung ein:

Dies entspricht der rechten Seite der Induktionsbehauptung.

Schlusssatz:

Mit Schritt 1, 2 und 3 ist bewiesen, dass die Aussage für alle erfüllt ist.