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Beweise per vollständiger Induktion, dass für alle gilt:

 

Die n-te Ableitung von

 

ist gegeben durch:

mit

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Schritt der Lösung anzuzeigen.

1. Induktionsanfang:

Bilde die erste Ableitung von mittels Produktregel:

Zeige das diese Ableitung der gegebenen Aussage für entspricht:

Somit ist die kleinste natürliche Zahl, für die die Aussage gilt.

2. Induktionsvoraussetzung (IV):

Es existiert ein , sodass die n-te Ableitung von durch gegeben ist.

3. Induktionsbehauptung und Induktionsschluss:

Induktionsbehauptung:

Mit folgt die Induktionsbehauptung:

Induktionsschluss:

Schreibe zunächst die linke Seite um:

Nutze, dass gilt und berechne die innere Ableitung:

Forme weiter um und setze die IV ein.

Führe nun die rechte Seite der Induktionsbehauptung auf diesen vereinfachten Ausdruck zurück:

Spalte zunächst das letzte Glied () der Summer ab:

Nutze:

Schlusssatz:

Mit Schritt 1, 2 und 3 ist bewiesen, dass die Aussage für alle erfüllt ist.