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Beweise per vollständiger Induktion, für welche gilt:

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1. Induktionsanfang

Für gilt:

Für stimmt die Ungleichung also noch nicht. Versuche die nächstgrößeren Werte für :

Für gilt:

Somit ist die kleinste natürliche Zahl, für die die Aussage stimmt.

2. Induktionsvoraussetzung (IV):

Es existiert ein mit , sodass

3. Induktionsbehauptung und Induktionsschluss:

Setze ? in die Aussage ein (Induktionsbehauptung):

Zeige das die Induktionsbehauptung gilt:

Forme zunächst die linke Seite so um, dass du die Induktionsvoraussetzung einsetzen kannst und vereinfache anschließend.

Ziehe als erstes die letzten beiden Summenglieder heraus, damit der Summenindex nur noch bis geht:

Jetzt muss der Start des Summenindexes von auf geändert werden:

Es muss der Term in die Summe aufgenommen werden. Addiere zur Gleichung also zuerst eine 'Null' mit diesem Term: .

Ziehe den Term in die Summe und setze dann die Induktionsvoraussetzung ein:

Mit diesem Ausdruck ist noch kein eindeutiger Vergleich mit der rechten Seite der Ungleichung möglich. Bringe die hinteren Terme auf einen Nenner und vereinfache:

Schlussatz:

Mit Schritt 1, 2 und 3 ist bewiesen, dass die Aussage für alle mit erfüllt ist.