Max Academy

Führe eine Partialbruchzerlegung durch:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

Linearfaktorzerlegung:

Um die Nullstellen der Funktion im Nenner zu ermitteln probiere z.B. einzusetzen.

Durch Ausprobieren erhält man und als Nullstellen.

Allerdings fehlt noch eine weitere Nullstelle, denn reproduziert noch nicht die Funktion im Nenner. Das bedeutet es gibt noch einen weiteren Wert für oder eine der beiden Nullstellen ist eine doppelte.

Der einfachste Weg dies herauszufinden ist eine Polynomdivision mit und anschließend ausprobieren oder pq-Formel anwenden.

Polynomdivision

Berechne den ersten Term der Lösung:

Berechne den zweiten Term der Lösung:

Berechne den dritten Term der Lösung:

Finde die Nullstellen vom Ergebnis der Polynomdivision.

Sowohl durch ausprobieren, als auch mit der pq-Formel ergeben sich die zwei Nullstellen und .

Insgesamt ergibt sich also, dass nun zweimal vorkommt und somit eine doppelte Nullstelle ist.

Die faktorisierte Form des Nenners lautet also:

Stelle die Partialbrüche auf:

Vorsicht mit der doppelten Nullstelle!

Bringe alle Summanden durch Erweitern auf den (bekannten) Hauptnenner:

Multipliziere aus und sortiere nach Potenzen von :

Koeffizientenvergleich:

Setze den Ausdruck mit dem ursprünglichen Bruch gleich. Durch Koeffizientenvergleich erhältst du ein Gleichungssystem:

Löse das Gleichungssystem:

Als Ergebnis ergibt sich: