Max Academy

Zeige, dass die rekursiv definierte Folge konvergiert und berechne den Grenzwert .

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

Grenzwert berechnen:

Falls existiert, so gilt nach Grenzwertbildung und Rekursionsgleichung:

Leite eine erste offensichtliche Lösung für ab:

- Die Gleichung ist für erfüllt.

Finde weitere Lösungen für den Fall :

Löse die rechte Seite der Gleichung:

Entscheide welcher der gefundenen Grenzwerte in Frage kommt und begründe deine Entscheidung:

Es gibt die 3 möglichen Grenzwerte . Da eine reelle Folge ist, kommt nur als möglicher Grenzwert in Frage.

Weise nach, dass die Folge nach unten beschränkt ist.

Zeige für alle mittels vollständiger Induktion:

Induktionsanfang:

Induktionsvoraussetzung:

Die Behauptung gelte für ein

Induktionsschluss:

Somit gilt die Aussage nach dem Prinzip der vollständigen Induktion.

Die Folge ist nach unten durch beschränkt.

Folge fällt monoton (Nachweis):

Zeige

Forme weiter um, sodass auf der linken Seite eine Null steht und auf der rechten Seite ein Ausdruck größer Null:

Somit ist die Folge monoton fallend.

Leite ein abschließendes Ergebnis aus deinen Berechnungen ab:

Die Folge ist monoton fallend, beschränkt und konvergiert mit dem Grenzwert: