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Zeige, dass die rekursiv definierte Folge konvergiert und berechne den Grenzwert .

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Schritt der Lösung anzuzeigen.

Jede beschränkte, monotone Folge konvergiert.

Versuche zunächst den Grenzwert zu berechnen, unter der Annahme, dass dieser existiert. Weise anschließend die Monotonie und Beschränktheit nach.

Grenzwert berechnen:

Als Grenzwert kommt also nur in Frage.

Folge ist nach oben beschränkt (Nachweis):

Zeige mittels vollständiger Induktion: für alle

Induktionsanfang:

Induktionsvoraussetzung:

Die Behauptung gelte für ein

Induktionsschluss:

Somit gilt die Aussage nach dem Prinzip der vollständigen Induktion.

Die Folge ist nach oben durch beschränkt.

Zeige, dass die Folge monoton wächst:

Beweise:

Somit ist die Folge monoton wachsend.

Leite ein abschließendes Ergebnis aus deinen Berechnungen ab:

Die Folge ist monoton wachsend, beschränkt und konvergiert mit dem Grenzwert: