Max Academy

Weise nach, dass die rekursiv definierte Folge beschränkt und monoton ist.

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Schritt der Lösung anzuzeigen.

Es ist nicht nach dem expliziten Grenzwert gefragt.

Zeige die Beschränktheit der Folge:

Zeige mittels vollständiger Induktion: für alle

Induktionsanfang:

Induktionsvoraussetzung:

Die Behauptung gelte für ein .

Induktionsschluss:

Obere Schranke:

Untere Schranke:

Somit ist . Die Aussage gilt nach dem Prinzip der vollständigen Induktion.

Die Folge ist beschränkt.

Weise die Monotonie der Folge nach.

Zeige mittels vollständiger Induktion, dass die Folge streng monoton steigend ist:

Induktionsanfang:

Induktionsvoraussetzung:

Die Behauptung gelte für ein .

Induktionsschluss:

Somit gilt die Aussage nach dem Prinzip der vollständigen Induktion.

Hinweis: Hier wurde die oben nachgewiesene Beschränktheit bereits benutzt.

Die Folge ist beschränkt und monoton.