Eindimensionale Analysis

Untervektorraum prüfen

Räumliche Balken

Basis

Platzhalter

Physik

Physik für Maschinenbau

Harmonische Schwingung

Platzspalter

Kapitel

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis $\{a_1, \ldots a_n\}$ eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ mit Skalarprodukt eine Orthonormalbasis zu konstruieren. 

Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\{a_1, \ldots a_n\}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.677ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4719.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-44-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 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Gauß'sches Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung

Neues Thema 4

Aufgabenstellung

Neues Thema 5

Der Laplace'sche Entwicklungssatz

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

Grundlagen (Gleichstrom)

Gaußverfahren

Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenraum

Ladung, Strom, Stromdichte, Spannung

Neues Thema 3

Einfache Integrale lassen sich ohne komplizierte "Tricks" integrieren, indem man auf allgemeine Integrationsregeln und bekannte Grundintegrale zurückgreift.

Einfache Integrale

Strömungsgeschwindigkeit von Elektronen

Neues Thema 2

Neues Thema

Hier lernst du wie man Umkehrfunktionen berechnet.

Umkehrfunktion bilden

Gauß-Jordan-Algorithmus

Energie, Leistung, Wirkungsgrad

Regel von Sarrus (3x3)

Das elektrische Feld

In diesem Kapitel werden grundlegende Begriffe zur Matrizenrechnung eingeführt und Grundrechentechniken vermittelt..

Matrizenrechnung - Grundlagen

Elektrische Feldgrößen 

Eine der wichtigsten Grundlagen bei der Rechnung mit Matrizen besteht in der Anwendung von Grundoperationen (Addition und Multiplikation). Wann diese Operationen möglich sind und wie du sie durchführst lernst du hier.

Addition und Multiplikation

Operationsverstärker

Maximum)

Widerstand

Verbindung von Zweipolen

Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes

Spezifischer Widerstand und Leitfähigkeit

Superpositionsprinzip

Hoch- und Tiefpunkte sind bei der Betrachtung von Funktionen wichtige Bestandteile und finden auch bei reellen Problemen eine Anwendung. Wenn z. B. die Temperaturkurve eines Jahres aufgezeichnet wird, so kann mit Hilfe von Hoch- und Tiefpunkt der jeweils heißesten bzw. kältesten Tag ermittelt werden.

Lokale und global Extrema

Regel von L`Hospital

Lineare Quellen

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion $f$, die auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ stetig ist, jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ annimmt.  Dieser Satz kann dir z.B. helfen, die Existenz einer Nullstelle nachzuweisen.

Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-22-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 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Dieser Satz kann dir z.B. helfen, die Existenz einer Nullstelle nachzuweisen.

Zweipole

Trainingsaufgaben

Gleichstromtechnik

Netzwerkberechnung

Winkel, Länge, Fläche, Volumen von Vektoren

Kirchhoffschen Gesetze

Technische Mechanik

Statik

Maschenstromverfahren

Elektrotechnik

Widerstandsnetzwerke

Beweisaufgabe

Wann eine Potenzreihe konvergiert bzw. divergiert wird über den Konvergenzradius der Reihe angegeben. Wie du diesen Radius bestimmst und zusammen mit dem Ausdruck $(x-x_{0})^{n}$ interpretierst erfährst du in diesem Kapitel.

Konvergenzradius bestimmen

Wann eine Potenzreihe konvergiert bzw. divergiert wird über den Konvergenzradius der Reihe angegeben. Wie du diesen Radius bestimmst und zusammen mit dem Ausdruck <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(x-x_{0})^{n}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.1ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4022.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-35-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-35-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-35-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1183.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2183.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3159, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> interpretierst erfährst du in diesem Kapitel.

Produkt- und Quotientenräume

Reihenschaltung, Parallelschaltung

Unbekannte Kräfte ermitteln (Gleichgewicht)

Die meisten Gleichungen besitzen eine oder mehrere Lösungen. Wie du diese Lösungen (Lösungsmenge) bestimmst lernst du hier.

Gleichungen

Lineare DGL

Hier lernst du wie du Flächen zwischen verschiedenen Graphen oder Graphen und Koordinatenachsen bestimmst. Insbesondere das aufstellen eines passenden Integrals und die Wahl der Integrationsgrenzen sind von Bedeutung.

Flächenberechnung

Stromteiler, Spannungsteiler

Vektorbündel

Dreieck-Stern, Stern-Dreieck Umwandlung

Leistungsanpassung (Arbeitspunkt)

Bei quadratischen Funktionen ist die höchste Potenz  2. Um ihre Nullstellen zu berechnen, kann die PQ-Formel angewendet werden.

Quadratische Funktionen (pq-Formel)

Zusätzlich zum direkten Beweis, ist es auch möglich den Wahrheitsgehalt einer Aussage über den indirekten Beweis zu führen. Dazu wird die Negation der Aussage gebildet und anschließend auf ihren Wahrheitsgehalt geprüft.

Gegenbeweis

Reale Quellen (Innenwiderstand)

Ersatzstromquelle, Ersatzspannungsquelle

Nichtlineare Gleichstromkreise (Dioden) 

Trennung der Variablen (Separation)

Kompakt oder nicht?

<p>Die Ableitung lautet:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>f^{\prime}(x)=-1-\frac{1}{(\tan (x))^{2}}</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Die Ableitung lautet:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
f^{\prime}(x)=-1-\frac{1}{(\tan (x))^{2}}
\end{align*}" style="vertical-align: -2.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.638ex" height="5.231ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1406 10448 2311.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4030-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-4030-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 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<p>Mit $\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ gilt:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>f(x) &amp;=\frac{1}{\tan (x)} \\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \\</p>
<p>&amp;=\frac{\cos (x)}{\sin (x)}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Wende die Quotientenregel an und vereinfache:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>f^{\prime}(x)&amp;=\frac{-\sin (x) \cdot \sin (x)-\cos (x) \cdot \cos (x)}{(\sin (x))^{2}}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{f^{\prime}(x)} &amp;=\frac{-(\sin (x))^{2}-(\cos (x))^{2}}{(\sin (x))^{2}} \\</p>
<p>&amp;=\frac{-(\sin (x))^{2}}{(\sin (x))^{2}}-\frac{(\cos (x))^{2}}{(\sin (x))^{2}} \\</p>
<p>&amp;=-1-\left(\frac{\cos (x)}{\sin (x)}\right)^{2} \\</p>
<p>&amp;=-1 -\left(\frac{1}{\tan (x)}\right)^{2} \\</p>
<p>&amp;=-1-\frac{1}{(\tan (x))^{2}}</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Bilde die Ableitung der folgenden Funktion mittels Quotientenregel:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>f(x)=\frac{1}{\tan (x)}</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Bilde die Ableitung der folgenden Funktion mittels Quotientenregel:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
f(x)=\frac{1}{\tan (x)}
\end{align*}" style="vertical-align: -2.038ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.635ex" height="5.208ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1401 6468.6 2302" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4025-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-4025-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 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Liegt eine gebrochenrationale Funktion vor, so wird die Quotientenregel zum Ableiten genutzt.

Quotientenregel

<p>Liegt eine gebrochenrationale Funktion der Form $f(x)=\frac{u(z)}{v(z)}$ vor, so leite wie folgt ab:</p>
<ol>
<li>Identifiziere $u(x)$ und $v(x)$</li>
<li>Bereche $u^{\prime}(x)$ und $v^{\prime}(x)$, indem du $u(x)$ und $v(x)$ einzeln ableitest.</li>
<li>Setze deine Ergebnisse in die Formel für die Quotientenregel ein:<br />$$f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v^{\prime}(x)}{v(x)^{2}}$$</li>
</ol>

<p><strong>Quotientenregel Eselsbrücke</strong></p>
<p>\[f^{\prime}(x)= \frac{NAZ-ZAN}{N^2}\] Dabei steht $N$ für Nenner, $Z$ für Zähler und $A$ für Ableitung. </p>

<p><strong>Quotientenregel Eselsbrücke</strong></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="f^{\prime}(x)= \frac{NAZ-ZAN}{N^2}" style="vertical-align: -1.629ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.433ex" height="4.778ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1392 9915.5 2111.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1376-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 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xlink:href="#MJX-1377-TEX-I-1D441"></use></g></g></g></svg></mjx-container> für Nenner, <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="Z" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.636ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 723 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1378-TEX-I-1D44D" d="M58 8Q58 23 64 35Q64 36 329 334T596 635L586 637Q575 637 512 637H500H476Q442 637 420 635T365 624T311 598T266 548T228 469Q227 466 226 463T224 458T223 453T222 450L221 448Q218 443 202 443Q185 443 182 453L214 561Q228 606 241 651Q249 679 253 681Q256 683 487 683H718Q723 678 723 675Q723 673 717 649Q189 54 188 52L185 49H274Q369 50 377 51Q452 60 500 100T579 247Q587 272 590 277T603 282H607Q628 282 628 271Q547 5 541 2Q538 0 300 0H124Q58 0 58 8Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1378-TEX-I-1D44D"></use></g></g></g></svg></mjx-container> für Zähler und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1379-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1379-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> für Ableitung. </p>

Wenn eine Funktion wiederum von einer Funktion abhängt, so spricht man von einer verketteten Funktion. Zum Ableiten solltest du in diesem Fall die Kettenregel verwenden.

Kettenregel

Funktionen, die aus einem Produkt zweier Teilfunktionen bestehen, kannst du mit der Produktregel ableiten.

Produktregel

Hier lernst du, wie du unterschiedlichste Ableitungsregeln kombiniert anwendest. Das ist wichtig, da Funktionen oft aus verschiedenen Teilfunktionen zusammengesetzt sind.

Gemischte Regeln

Funktionen ableiten (differenzieren) zu können ist eine der wichtigsten Grundlagen in der Mathematik und bildet die Ausgangslage für fast alle Funktionsuntersuchungen. Hier lernst du die wichtigsten Regeln um Ableitungen von Funktionen zu berechnen!