Eindimensionale Analysis

Kompakt oder nicht?

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion $f$, die auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ stetig ist, jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ annimmt.  Dieser Satz kann dir z.B. helfen, die Existenz einer Nullstelle nachzuweisen.

Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-22-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 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Dieser Satz kann dir z.B. helfen, die Existenz einer Nullstelle nachzuweisen.

Regel von L`Hospital

Hoch- und Tiefpunkte sind bei der Betrachtung von Funktionen wichtige Bestandteile und finden auch bei reellen Problemen eine Anwendung. Wenn z. B. die Temperaturkurve eines Jahres aufgezeichnet wird, so kann mit Hilfe von Hoch- und Tiefpunkt der jeweils heißesten bzw. kältesten Tag ermittelt werden.

Lokale und global Extrema

Beweisaufgabe

Wahr/Falsch

(Lokal) Kompakte Räume

Maximum)

Mannigfaltigkeiten

Fundamentalgruppen

Hier lernst du wie man Umkehrfunktionen berechnet.

Umkehrfunktion bilden

Wann eine Potenzreihe konvergiert bzw. divergiert wird über den Konvergenzradius der Reihe angegeben. Wie du diesen Radius bestimmst und zusammen mit dem Ausdruck $(x-x_{0})^{n}$ interpretierst erfährst du in diesem Kapitel.

Konvergenzradius bestimmen

Wann eine Potenzreihe konvergiert bzw. divergiert wird über den Konvergenzradius der Reihe angegeben. Wie du diesen Radius bestimmst und zusammen mit dem Ausdruck <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(x-x_{0})^{n}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.1ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4022.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-35-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-35-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-35-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1183.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2183.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3159, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> interpretierst erfährst du in diesem Kapitel.

(Weg)zusammenhängende Räume

Reibung (Gleitreibung)

Die meisten Gleichungen besitzen eine oder mehrere Lösungen. Wie du diese Lösungen (Lösungsmenge) bestimmst lernst du hier.

Gleichungen

Rahmen und Bögen

Hier lernst du wie du Flächen zwischen verschiedenen Graphen oder Graphen und Koordinatenachsen bestimmst. Insbesondere das aufstellen eines passenden Integrals und die Wahl der Integrationsgrenzen sind von Bedeutung.

Flächenberechnung

Gaußverfahren

Vektorbündel

Metrische Räume

Der Laplace'sche Entwicklungssatz

Topologie

Gauß'sches Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung

Bei quadratischen Funktionen ist die höchste Potenz  2. Um ihre Nullstellen zu berechnen, kann die PQ-Formel angewendet werden.

Quadratische Funktionen (pq-Formel)

Quicksort

Zusätzlich zum direkten Beweis, ist es auch möglich den Wahrheitsgehalt einer Aussage über den indirekten Beweis zu führen. Dazu wird die Negation der Aussage gebildet und anschließend auf ihren Wahrheitsgehalt geprüft.

Gegenbeweis

Sortieralgorithmen

Produkt- und Quotientenräume

Untervektorraum prüfen

Algorithmen

Elektrotechnik

Basis

Gleichstromtechnik

Aufgabentyp

Ladung und elektrisches Feld

Platzhalter

Physik

Spannung und elektrische Arbeit

Physik für Maschinenbau

Wenn eine Funktion wiederum von einer Funktion abhängt, so spricht man von einer verketteten Funktion. Zum Ableiten solltest du in diesem Fall die Kettenregel verwenden.

Kettenregel

Harmonische Schwingung

Zweipole

Kapiel

Der Definitionsbereich einer Funktion $f(x)$ ist die Menge aller $x$ Werte die in sie eingesetzt werden können und die Funktion einen endlichen Wert liefert.

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich einer Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.299ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1900 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-20-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-20-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-20-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-20-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550, 0)"><use xlink:href="#MJX-20-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939, 0)"><use xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511, 0)"><use xlink:href="#MJX-20-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist die Menge aller <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-21-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Werte die in sie eingesetzt werden können und die Funktion einen endlichen Wert liefert.

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis $\{a_1, \ldots a_n\}$ eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ mit Skalarprodukt eine Orthonormalbasis zu konstruieren. 

Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\{a_1, \ldots a_n\}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.677ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4719.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-44-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 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Maschen- und Knotenregel

Effiziente Algorithmen, z.B. zum Sortieren oder Suchen.

Zusammenschaltung von Widerständen

Informatik

Strom- Und Spannungsteilung

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

Eine Fläche kann ins Unendliche reichen und dennoch einen endlichen Flächeninhalt besitzen. In diesem Fall spricht man von einem uneigentlichen Integral. Hier lernst du diese Integrale zu berechnen.

Uneigentliche Integrale

Satz von Green

Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenraum

Lineare Quellen

Satz von Stokes

Die partielle Integration wird verwendet, um eine Funktion zu integrieren, die aus zwei (oder mehreren) Faktoren besteht. Ziel ist es die ursprüngliche Funktion so umzuformen, dass eine neue Funktion entsteht, die einfacher zu Integrieren ist.

Partielle Integration

Einfache Integrale lassen sich ohne komplizierte "Tricks" integrieren, indem man auf allgemeine Integrationsregeln und bekannte Grundintegrale zurückgreift.

Einfache Integrale

Satz von Gauß

Superpositionsprinzip

Mehrfachintegrale berechnen

Platzspalter

Gauß-Jordan-Algorithmus

Verbindung von Zweipolen

Vektoranalysis und Mehrfachintegrale

Regel von Sarrus (3x3)

Das Quotientenkriterium eignet sich besonders bei der Untersuchung von Reihen, welche vorwiegend aus Produkten/Quotienten von Fakultäten, Binomialkoeffizienten, Exponentialfunktionen bestehen.

Quotientenkriterium

In diesem Kapitel werden grundlegende Begriffe zur Matrizenrechnung eingeführt und Grundrechentechniken vermittelt..

Matrizenrechnung - Grundlagen

Operationsverstärker

Eine der wichtigsten Grundlagen bei der Rechnung mit Matrizen besteht in der Anwendung von Grundoperationen (Addition und Multiplikation). Wann diese Operationen möglich sind und wie du sie durchführst lernst du hier.

Addition und Multiplikation

LR-Zerlegung

Neues Thema

(Matrix-) Normen berechnen

Viele Summen können durch explizite Formeln ersetzt bzw. ausgerechnet werden. Mittels vollständiger Induktion nachzuweisen, dass eine solche Formel immer Gültigkeit hat ist Kern dieses Themas.

Summen

Grundlagen

Neues Thema 2

Linearität einer Abbildung prüfen

Neues Thema 3

Implizite Funktionen

Neues Thema 4

<p>Als Lösungsmenge ergibt sich insgesamt: $L=\{-1\}$</p>

<p>Als Lösungsmenge ergibt sich insgesamt: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="L=\{-1\}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.712ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4292.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1853-TEX-I-1D43F" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path id="MJX-1853-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1853-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 -192T415 -213Q429 -213 431 -216Q434 -219 434 -231Z"></path><path id="MJX-1853-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1853-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-1853-TEX-N-7D" d="M65 731Q65 745 68 747T88 750Q171 750 216 725T279 670Q288 649 289 635T291 501Q292 362 293 357Q306 312 345 291T417 269Q428 269 431 266T434 250T431 234T417 231Q380 231 345 210T298 157Q293 143 292 121T291 -28V-79Q291 -134 285 -156T256 -198Q202 -250 89 -250Q71 -250 68 -247T65 -230Q65 -224 65 -223T66 -218T69 -214T77 -213Q91 -213 108 -210T146 -200T183 -177T207 -139Q208 -134 209 3L210 139Q223 196 280 230Q315 247 330 250Q305 257 280 270Q225 304 212 352L210 362L209 498Q208 635 207 640Q195 680 154 696T77 713Q68 713 67 716T65 731Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1853-TEX-I-1D43F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(958.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1853-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2014.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1853-TEX-N-7B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2514.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1853-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3292.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1853-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3792.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1853-TEX-N-7D"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Untersuche für welche $x \in \mathbb{R}$ die Wurzel definiert ist:</p>


<p>Untersuche für welche <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x \in \mathbb{R}" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.694ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2516.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1840-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1840-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-1840-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1840-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1840-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1794.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1840-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> die Wurzel definiert ist:</p>


<p>Die Wurzel ist definiert für:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>&amp;&amp; 2 x^{2}-1 &amp;\geq 0 \\</p>
<p>\Leftrightarrow&amp;&amp; x^{2} &amp;\geq \frac{1}{2} \\</p>
<p>\Leftrightarrow&amp;&amp; x \geq \sqrt{\frac{1}{2}} \quad &amp;\vee \quad x \leq-\sqrt{\frac{1}{2}}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Die Wurzel ist definiert für:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
&& 2 x^{2}-1 &\geq 0 \\
\Leftrightarrow&& x^{2} &\geq \frac{1}{2} \\
\Leftrightarrow&& x \geq \sqrt{\frac{1}{2}} \quad &\vee \quad x \leq-\sqrt{\frac{1}{2}}
\end{align*}" style="vertical-align: -6.473ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="33.078ex" height="14.077ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -3361 14620.6 6221.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1841-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-1841-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 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scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1841-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7865.6, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1841-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-1841-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-1841-TEX-N-32"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -2104.2)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1841-TEX-N-21D4"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1000, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3000, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1841-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" 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data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2111.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-1841-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2961.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-1841-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4017, 0)"><use xlink:href="#MJX-1841-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(4795, 0)"><g transform="translate(1020, 0)"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-1841-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-1841-TEX-N-32"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 193.3)"><use xlink:href="#MJX-1841-TEX-S3-221A"></use></g><rect width="940" height="60" x="1020" y="1583.3"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>&amp;&amp; \sqrt{2 x^{2}-1}+x&amp;=0 \\</p>
<p>\Leftrightarrow&amp;&amp; \sqrt{2 x^{2}-1}&amp;=-x</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Unterscheide die beiden Fälle für welche die Wurzel definiert ist:</p>


<p>Für diesen Fall gilt $-x&amp;lt;0$ aber auch $\sqrt{2 x^{2}-1} \geq 0$.</p>


<p>Für diesen Fall gilt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="-x<0" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.203ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 3183.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1844-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1844-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 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247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1845-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1845-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-1845-TEX-N-2265" d="M83 616Q83 624 89 630T99 636Q107 636 253 568T543 431T687 361Q694 356 694 346T687 331Q685 329 395 192L107 56H101Q83 58 83 76Q83 77 83 79Q82 86 98 95Q117 105 248 167Q326 204 378 228L626 346L360 472Q291 505 200 548Q112 589 98 597T83 616ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-1845-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 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xlink:href="#MJX-1845-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 106.5)"><use xlink:href="#MJX-1845-TEX-N-221A"></use></g><rect width="3198" height="60" x="853" y="846.5"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4328.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1845-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5384.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1845-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>Da dies ein Widerspruch ist, hat die Gleichung $\sqrt{2 x^{2}-1}=-x$ für diesen Fall keine Lösung.</p>
<p>$\Rightarrow L_1= \emptyset$</p>


<p>Da dies ein Widerspruch ist, hat die Gleichung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\sqrt{2 x^{2}-1}=-x" style="vertical-align: -0.212ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.237ex" height="2.398ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -966.5 6734.6 1060" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1846-TEX-N-221A" d="M95 178Q89 178 81 186T72 200T103 230T169 280T207 309Q209 311 212 311H213Q219 311 227 294T281 177Q300 134 312 108L397 -77Q398 -77 501 136T707 565T814 786Q820 800 834 800Q841 800 846 794T853 782V776L620 293L385 -193Q381 -200 366 -200Q357 -200 354 -197Q352 -195 256 15L160 225L144 214Q129 202 113 190T95 178Z"></path><path id="MJX-1846-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-1846-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1846-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1846-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-1846-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msqrt"><g transform="translate(853, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1846-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1846-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1846-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1697.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1846-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2698, 0)"><use xlink:href="#MJX-1846-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 106.5)"><use xlink:href="#MJX-1846-TEX-N-221A"></use></g><rect width="3198" height="60" x="853" y="846.5"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4328.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1846-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5384.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1846-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6162.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1846-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> für diesen Fall keine Lösung.</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\Rightarrow L_1= \emptyset" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.493ex" height="2.086ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -772 4195.9 922" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1847-TEX-N-21D2" d="M580 514Q580 525 596 525Q601 525 604 525T609 525T613 524T615 523T617 520T619 517T622 512Q659 438 720 381T831 300T927 263Q944 258 944 250T935 239T898 228T840 204Q696 134 622 -12Q618 -21 615 -22T600 -24Q580 -24 580 -17Q580 -13 585 0Q620 69 671 123L681 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H725L735 181Q774 211 852 250Q851 251 834 259T789 283T735 319L725 327H72Q56 332 56 347Q56 360 70 367H681L671 377Q638 412 609 458T580 514Z"></path><path id="MJX-1847-TEX-I-1D43F" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path id="MJX-1847-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-1847-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1847-TEX-N-2205" d="M331 696Q335 708 339 722T345 744T350 759T357 769T367 772Q374 772 381 767T388 754Q388 746 377 712L366 673L378 661Q460 575 460 344Q460 281 456 234T432 126T373 27Q319 -22 250 -22Q214 -22 180 -7Q168 -3 168 -4L159 -33Q148 -71 142 -75Q138 -78 132 -78Q124 -78 118 -72T111 -60Q111 -52 122 -18L133 21L125 29Q39 111 39 344Q39 596 137 675Q187 716 251 716Q265 716 278 714T296 710T315 703T331 696ZM276 676Q264 679 246 679Q196 679 159 631Q134 597 128 536T121 356Q121 234 127 174T151 80L234 366Q253 430 275 506T308 618L318 654Q318 656 294 669L276 676ZM181 42Q207 16 250 16Q291 16 324 47Q354 78 366 136T378 356Q378 470 372 528T349 616L348 613Q348 611 264 326L181 42Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1847-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1277.8, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1847-TEX-I-1D43F"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(681, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-1847-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2640.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-1847-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3695.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-1847-TEX-N-2205"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{aligned}</p>
<p>&amp;&amp; \sqrt{2 x^{2}-1}&amp;=-x \\</p>
<p>\Leftrightarrow&amp;&amp; 2 x^{2}-1 &amp;=(-x)^{2}=x^{2} \\</p>
<p>\Leftrightarrow &amp;&amp; x^{2}&amp;=1 \\</p>
<p>\Leftrightarrow &amp;&amp; x=1 \quad &amp;\vee \quad x=-1</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>Schränke die Lösungen noch durch die Fallbedingung ein:</p>


<p>Mit $x \leq-\sqrt{\frac{1}{2}}$ ergibt sich für $L_2$:</p>
<p>$\Rightarrow L_2 = {-1}$</p>

<p>Mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x \leq-\sqrt{\frac{1}{2}}" style="vertical-align: -1.295ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.174ex" height="4.208ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1287.5 4497.1 1860" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1850-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path 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<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\Rightarrow L_2 = {-1}" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.253ex" height="1.885ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 4973.9 833" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1852-TEX-N-21D2" d="M580 514Q580 525 596 525Q601 525 604 525T609 525T613 524T615 523T617 520T619 517T622 512Q659 438 720 381T831 300T927 263Q944 258 944 250T935 239T898 228T840 204Q696 134 622 -12Q618 -21 615 -22T600 -24Q580 -24 580 -17Q580 -13 585 0Q620 69 671 123L681 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H725L735 181Q774 211 852 250Q851 251 834 259T789 283T735 319L725 327H72Q56 332 56 347Q56 360 70 367H681L671 377Q638 412 609 458T580 514Z"></path><path id="MJX-1852-TEX-I-1D43F" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path id="MJX-1852-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-1852-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1852-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1852-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1852-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1277.8, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1852-TEX-I-1D43F"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(681, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-1852-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2640.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-1852-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(3695.9, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1852-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-1852-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Für welche $x \in \mathbb{R}$ gilt:</p>
<p>$$\sqrt{2 x^{2}-1}+x=0$$</p>

<p>Für welche <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x \in \mathbb{R}" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.694ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2516.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1838-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1838-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-1838-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1838-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1838-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1794.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1838-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> gilt:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\sqrt{2 x^{2}-1}+x=0" style="vertical-align: -0.33ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.751ex" height="2.851ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1114.2 7846 1260" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1839-TEX-SO-221A" d="M263 249Q264 249 315 130T417 -108T470 -228L725 302Q981 837 982 839Q989 850 1001 850Q1008 850 1013 844T1020 832V826L741 243Q645 43 540 -176Q479 -303 469 -324T453 -348Q449 -350 436 -350L424 -349L315 -96Q206 156 205 156L171 130Q138 104 137 104L111 130L263 249Z"></path><path id="MJX-1839-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-1839-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1839-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1839-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-1839-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-1839-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1839-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msqrt"><g transform="translate(1020, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1839-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1839-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1839-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1697.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1839-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2698, 0)"><use xlink:href="#MJX-1839-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 204.2)"><use xlink:href="#MJX-1839-TEX-SO-221A"></use></g><rect width="3198" height="60" x="1020" y="994.2"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4440.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-1839-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5440.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-1839-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6290.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-1839-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(7346, 0)"><use xlink:href="#MJX-1839-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p><strong>1) Bestimme/Untersuche den Definitionsbereich</strong> des angegebenen Ausdrucks. Achte insbesondere auf Wurzeln und/oder Variablen die im Nenner stehen.</p>
<p> </p>
<p><strong>2) Löse die gegebene Gleichung/Ungleichung,</strong> unter Berücksichtigung des ermittelten Definitionsbereiches. Achte insbesondere darauf, ob Fälle unterschieden werden müssen (z.B. bei Beträgen).</p>
<p><em>Falls mehrere einzelne Lösungsmengen entstehen (Fallunterscheidungen), so vereine diese am Ende zu einer Gesamtlösungsmenge.</em></p>

Lösungsmengen bestimmen

<p>Ein Ausdruck mit Betragsstrichen ist immer positiv. Es gilt:</p>
<p>\begin{align*} \quad |x|=\left\{\begin{array}{ll}</p>
<p>x &amp; \text { wenn } x \geq 0 \\</p>
<p>-x &amp; \text { wenn } x&amp;lt;0</p>
<p>\end{array}\right.\end{align*}</p>

<p>Ein Ausdruck mit Betragsstrichen ist immer positiv. Es gilt:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*} \quad |x|=\left\{\begin{array}{ll}
x & \text { wenn } x \geq 0 \\
-x & \text { wenn } x<0
\end{array}\right.\end{align*}" style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="26.573ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 11745.1 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-295-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-295-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 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Betrag

<p>Zum <strong>Auflösen eines Betrages</strong>, führe eine Fallunterscheidung durch. Unterscheide hierfür, wann der Ausdruck im Betrag positiv und wann er negativ wird (Grenze sind Nullstellen des Betrages):</p>
<ol>
<li>Berechne die Nullstellen des Ausdrucks im Betrag.</li>
<li>Die Bereiche ober-und unterhalb der Nullstellen, bilden die zu betrachtenden Fälle.</li>
<li>Löse deinen Ausdruck für die einzelnen Fälle. Der Betrag kann weggelassen werden, wenn der Ausdruck im inneren positiv ist. Wenn er negativ ist wird der Betrag ersetzt durch eine Klammer mit einem Minuszeichen davor.</li>
</ol>

Betrag auflösen

Meistens (aber nicht immer) besteht die Lösungsmenge einer Ungleichung aus einem ganzen Wertebereich. Hier lernst du diesen Wertebereich zu bestimmen.

Ungleichungen

Als Lösungsmenge bezeichnet man alle möglichen Werte für eine Variable, die eine bestimmte Gleichung oder Ungleichung erfüllen.