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Gegeben sei die Funktion mit:

1. Bestimme den Definitionsbereich den Stetigkeitsbereich und den Differenzierbarkeitsbereich der Funktion

2. Untersuche, ob an der Stelle stetig ergänzbar ist.

3. Falls in stetig ergänzbar ist: ist die stetig ergänzte Funktion in differenzierbar?

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1. Bestimmung der Mengen

Definitionsbereich

Stetigkeitsbereich

da ausschließlich aus jeweils stetigen Funktionen zusammengesetzt ist. (Verkettung stetiger Funktionen sind stetig)

Differenzierbarkeitsbereich

Untersuche den Betrag:

Es gilt also für :

Hieraus folgt:

2. Stetige Ergänzbarkeit an der Stelle

ist an der Stelle stetig ergänzbar, falls

Fall :

Fall :

Also lässt sich für durch 0 stetig ergänzen, d. h.:

Damit ist für stetig:

3. Ist für differenzierbar?

ist für differenzierbar, falls: existiert.

Der Fall

Der Fall

Da ist in differenzierbar

Damit gilt insgesamt: