Max Academy

Zeige, dass die Funktion

auf dem Intervall **genau einen** Fixpunkt hat.

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

Anschaulich bedeutet die Fragestellung: Wie viele Schnittpunkte hat unsere Funktion mit der Geraden auf dem gegebenen Intervall.

Stelle die Fixpunktgleichung auf und schreibe sie in ein Nullstellenproblem um:

Fixpunktgleichung:

Hinweis: Die Gleichung ist nicht eindeutig auflösbar. Allerdings wollen wir nur die Anzahl der Schnittpunkte wissen und nicht die genauen Werte.

Das äquivalente Nullstellenproblem:

Betrachte die Funktionswerte von an den Intervallgrenzen:

Zwischenwertsatz:

Nach dem Zwischenwertsatz existiert also mindestens ein mit auf dem stetigen Intervall .

Untersuche noch die Monotonie von , um noch zu zeigen, dass höchstens einen Fixpunkt in hat:

Bilde die Ableitung von :

Untersuche das Vorzeichen der Ableitung. Nutz, dass in :

Also ist streng monoton wachsend auf diesem Intervall und hat höchstens eine Nullstelle.

Formuliere ein abschließendes Ergebnis für :

hat **genau einen** Fixpunkt im Intervall