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Approximiere die Funktion durch ein Taylorpolynom 4. Ordnung um den Entwicklungspunkt . Schätze anschließend den Fehler mit dem Restglied von Lagrange im Bereich ab.

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Schritt der Lösung anzuzeigen.

Stelle die Formel für das gesuchte Taylorpolynom auf:

Bestimme die ersten 5 Ableitungen von :

*Die letzte Ableitung brauchst du später für die Fehlerabschätzung*

Für die erste gilt:

Für die zweite gilt:

Für die dritte gilt:

Für die vierte gilt:

Für die fünfte gilt:

Setze den Entwicklungspunkt in die Funktion und die ersten vier Ableitungen ein:

Setze alles in das zu errechnenden Taylorpolynom ein:

Berechne das Restglied von Lagrange:

Stelle auf:

Mach dir klar, welche Abschätzungen für und gelten:

Da zwischen und liegt, gilt für auch .

Bilde den Betrag und schätze ab:

Nutze, dass gilt.

Es gilt: