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Gegeben sei die Funktion:

1. Zeige, dass die Umkehrfunktionen existiert.

2. Berechne die Ableitung der Umkehrfunktion: an einer Stelle .

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Schritt der Lösung anzuzeigen.

1. Existenz der Umkehrfunktion:

Überprüfe die Monotonie der Funktion um Rückschlüsse auf die Existenz der Umkehrfunktion zu ziehen:

Betrachte die Ableitung von :

Benutze .

ist also streng monoton steigend .

Überprüfe Stetigkeit:

Benutze die Identitäten:

Dieser Ausdruck ist auf ganz definiert und hat keine Polstellen. Also ist stetig.

Weil stetig und streng monoton ist, existiert die Umkehrfunktion .

Für den Definitionsbereich beachte, dass abbildet und somit von abbildet .

2. Ableitung der Umkehrfunktion:

Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt:

Forme nach um:

Verwende nun den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion von oben:

Füge wieder ein und eliminiere den Bruch:

Setze die Funktion selbst ein:

Die Funktion besitzt eine Umkehrfunktion mit der Form: und der Ableitung der Umkehrfunktion .