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Gegeben sei

1. Zeige: existiert zu die Umkehrfunktion

2. Berechne (setze dazu ).

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Schritt der Lösung anzuzeigen.

1. Existenz der Umkehrfunktion:

Nach dem Satz der Umkehrfunktionen ist jede streng monotone Funktion auch umkehrbar.

Untersuche die Ableitung:

ist also streng monoton steigend .

ist stetig als Komposition stetiger Einzelfunktionen. Somit besitzt eine Umkehrfunktion.

2. Ableitung der Umkehrfunktion :

Wert von ohne explizite Angabe der Umkehrfunktion:

Setze in ein:

Damit also für die Umkehrfunktion :

Wert von ohne explizite Angabe der Ableitung der Umkehrfunktion:

Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt mit und :

Das heißt

1. besitzt eine Umkehrfunktion, da streng monoton steigend und stetig.

2. Es gilt: und .