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Es seien zwei Untervektorräume des Vektorraums (über ). Zeige:

a) ist ein Untervektorraum von .

b) ist im Allgemeinen kein Untervektorraum von .

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a) Zeige ist ein Untervektorraum von

Zeige

Da und ist, ist auch .

Zeige für alle

Seien

Zeige für alle und

Sei

Insgesamt ist also ein Untervektorraum von .

b) Zeige, dass im Allgemeinen kein Untervektorraum von ist, indem du ein Gegenbeispiel angibst.

Sei und

Dann sind und offensichtlich Untervektorräume von

Prüfe, ob ein Untervektorraum von sein kann.

Es sind aber Demnach ist kein Untervektorraum von .

Damit sind alle Aussagen bewiesen.