Max Academy

Gegeben sei die Funktion mit:

1. Zeige: ist auf stetig.
2. Untersuche die Existenz der partiellen Ableitungen in
3. Ist total differenzierbar in ?

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

1. Stetigkeit:

ist für alle eine Komposition stetiger Funktionen und somit stetig in diesem Bereich.

Untersuche Stetigkeit in

Überprüfe dafür ob gilt:

Transformiere von kartesischen zu Polarkoordinaten:

Setze die Koordinaten in die Funktion ein:

Es gilt: :

Bestimme den Grenzwert:

Da Nenner und Zähler für gegen streben, darf die Regel von l'Hospital verwendet werden:

Damit folgt die Stetigkeit in .

2. Überprüfen die Existenz der partiellen Ableitungen

Überprüfe dazu ob die Grenzwerte und existieren

(a) überfprüfe :

Dieser Grenzwert hat die Form . Regel von l'Hospital ergibt:

Somit existiert der Grenzwert :

(b) überfprüfe :

Dieser Grenzwert hat die Form . Regel von l'Hospital ergibt:

Somit existiert der Grenzwert :

3. Untersuche totale Differenzierbarkeit:

Für gilt:

Die Funktion ist in total differenzierbar, weil eine Komposition total differenzierbarer Funktionen ist.

Für den Nullpunkt gilt:

Mit Hilfe von Polarkoordinaten kann gezeigt werden, dass die partiellen Ableitungen im Nullpunkt stetig sind. Damit ist totale Differenzierbarkeit gezeigt.

Verwende alternativ die Definition der totalen Differenzierbarkeit :

Allgemeine Formel:

Transformiere in die Polarkoordinaten:

Verwende Regel von l'Hospital:

Somit ist in (0,0) total differenzierbar.

1. ist stetig im Nullpunkt und somit stetig auf .
2. Die partiellen Ableitungen existieren.
3. ist auf ganz total differenzierbar.