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Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte über sowie eine Basis des zugehörigen Eigenraums der folgenden Matrix:

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Schritt der Lösung anzuzeigen.

1. Bestimme das charakteristische Polynom von

Mit der Regel von Sarrus kannst du die Determinante nun direkt berechnen.

2. Bestimme die Eigenwerte

Berechne dafür die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Die erste Nullstelle können wir direkt am charakteristischen Polynom ablesen:

Um die weiteren Nullstellen zu finden, löse die Gleichung

sind die Eigenwerte von .

Alternativ hättest du die Nullstellen auch mit einer Polynomdivision berechnen können.

3. Bestimme die Eigenräume von

Berechne zuerst den Eigenraum von zum Eigenwert

Wähle zum Beispiel .

Berechne nun den Eigenraum von zum Eigenwert

Wähle zum Beispiel .

Berechne nun den Eigenraum von zum Eigenwert

Wähle zum Beispiel .

Das charakteristische Polynom lautet:

.

 

sind die Eigenwerte von .

 

ist eine Basis von .

 

ist eine Basis von .

 

ist eine Basis von .