Eindimensionale Analysis

Untervektorraum prüfen

Räumliche Balken

Basis

Platzhalter

Physik

Physik für Maschinenbau

Harmonische Schwingung

Platzspalter

Kapitel

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis $\{a_1, \ldots a_n\}$ eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ mit Skalarprodukt eine Orthonormalbasis zu konstruieren. 

Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\{a_1, \ldots a_n\}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.677ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4719.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-44-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 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Gauß'sches Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung

Neues Thema 4

Aufgabenstellung

Neues Thema 5

Der Laplace'sche Entwicklungssatz

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

Grundlagen (Gleichstrom)

Gaußverfahren

Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenraum

Ladung, Strom, Stromdichte, Spannung

Neues Thema 3

Einfache Integrale lassen sich ohne komplizierte "Tricks" integrieren, indem man auf allgemeine Integrationsregeln und bekannte Grundintegrale zurückgreift.

Einfache Integrale

Strömungsgeschwindigkeit von Elektronen

Neues Thema 2

Neues Thema

Hier lernst du wie man Umkehrfunktionen berechnet.

Umkehrfunktion bilden

Gauß-Jordan-Algorithmus

Energie, Leistung, Wirkungsgrad

Regel von Sarrus (3x3)

Das elektrische Feld

In diesem Kapitel werden grundlegende Begriffe zur Matrizenrechnung eingeführt und Grundrechentechniken vermittelt..

Matrizenrechnung - Grundlagen

Elektrische Feldgrößen 

Eine der wichtigsten Grundlagen bei der Rechnung mit Matrizen besteht in der Anwendung von Grundoperationen (Addition und Multiplikation). Wann diese Operationen möglich sind und wie du sie durchführst lernst du hier.

Addition und Multiplikation

Operationsverstärker

Maximum)

Widerstand

Verbindung von Zweipolen

Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes

Spezifischer Widerstand und Leitfähigkeit

Superpositionsprinzip

Hoch- und Tiefpunkte sind bei der Betrachtung von Funktionen wichtige Bestandteile und finden auch bei reellen Problemen eine Anwendung. Wenn z. B. die Temperaturkurve eines Jahres aufgezeichnet wird, so kann mit Hilfe von Hoch- und Tiefpunkt der jeweils heißesten bzw. kältesten Tag ermittelt werden.

Lokale und global Extrema

Regel von L`Hospital

Lineare Quellen

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion $f$, die auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ stetig ist, jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ annimmt.  Dieser Satz kann dir z.B. helfen, die Existenz einer Nullstelle nachzuweisen.

Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-22-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 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Dieser Satz kann dir z.B. helfen, die Existenz einer Nullstelle nachzuweisen.

Zweipole

Trainingsaufgaben

Gleichstromtechnik

Netzwerkberechnung

Winkel, Länge, Fläche, Volumen von Vektoren

Kirchhoffschen Gesetze

Technische Mechanik

Statik

Maschenstromverfahren

Elektrotechnik

Widerstandsnetzwerke

Beweisaufgabe

Wann eine Potenzreihe konvergiert bzw. divergiert wird über den Konvergenzradius der Reihe angegeben. Wie du diesen Radius bestimmst und zusammen mit dem Ausdruck $(x-x_{0})^{n}$ interpretierst erfährst du in diesem Kapitel.

Konvergenzradius bestimmen

Wann eine Potenzreihe konvergiert bzw. divergiert wird über den Konvergenzradius der Reihe angegeben. Wie du diesen Radius bestimmst und zusammen mit dem Ausdruck <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(x-x_{0})^{n}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.1ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4022.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-35-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-35-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-35-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1183.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2183.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3159, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> interpretierst erfährst du in diesem Kapitel.

Produkt- und Quotientenräume

Reihenschaltung, Parallelschaltung

Unbekannte Kräfte ermitteln (Gleichgewicht)

Die meisten Gleichungen besitzen eine oder mehrere Lösungen. Wie du diese Lösungen (Lösungsmenge) bestimmst lernst du hier.

Gleichungen

Lineare DGL

Hier lernst du wie du Flächen zwischen verschiedenen Graphen oder Graphen und Koordinatenachsen bestimmst. Insbesondere das aufstellen eines passenden Integrals und die Wahl der Integrationsgrenzen sind von Bedeutung.

Flächenberechnung

Stromteiler, Spannungsteiler

Vektorbündel

Dreieck-Stern, Stern-Dreieck Umwandlung

Leistungsanpassung (Arbeitspunkt)

Bei quadratischen Funktionen ist die höchste Potenz  2. Um ihre Nullstellen zu berechnen, kann die PQ-Formel angewendet werden.

Quadratische Funktionen (pq-Formel)

Zusätzlich zum direkten Beweis, ist es auch möglich den Wahrheitsgehalt einer Aussage über den indirekten Beweis zu führen. Dazu wird die Negation der Aussage gebildet und anschließend auf ihren Wahrheitsgehalt geprüft.

Gegenbeweis

Reale Quellen (Innenwiderstand)

Ersatzstromquelle, Ersatzspannungsquelle

Nichtlineare Gleichstromkreise (Dioden) 

Trennung der Variablen (Separation)

Kompakt oder nicht?

$$\int 2 \cdot \sqrt{x}-6 \cdot \sqrt[3]{x}\ dx=\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}-\frac{9}{2} x^{\frac{4}{3}}$$

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\int 2 \cdot \sqrt{x}-6 \cdot \sqrt[3]{x}\ dx=\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}-\frac{9}{2} x^{\frac{4}{3}}" style="vertical-align: -1.948ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="35.684ex" height="5.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1361 15772.3 2222" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5680-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path 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xlink:href="#MJX-5679-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Integriere den umgeschriebenen Ausruck:

Bestimme das folgende Integral: $$\int 2 \cdot \sqrt{x}-6 \cdot \sqrt[3]{x}\ dx$$

Bestimme das folgende Integral: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\int 2 \cdot \sqrt{x}-6 \cdot \sqrt[3]{x}\ dx" style="vertical-align: -1.948ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="20.294ex" height="5.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1361 8970 2222" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5678-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-5678-TEX-N-32" d="M109 429Q82 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Seien $\alpha \text {,} \ c \in \mathbb{R}$ , konst. und $n \in \mathbb{R} $, $n \neq -1$
Faktorregel
$$\quad \int \alpha f(x) d x=\alpha \cdot \int f(x) d x$$
Summenregel
$$\quad \int(u(x)+v(x)) d x=\int u(x) d x+\int v(x) d x$$
Konstantenregel
$$\quad \int \alpha \cdot d x= \alpha \cdot x+c$$
Potenzregel
$$\quad \int x^{n} d x=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+c$$
Partielle Integration
$$\quad \int f(x) g^{\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\int f^{\prime}(x) g(x) d x$$
Integration durch Substitution
$$\quad \int f(x) \mathrm{d} x=\int f(g(z)) \cdot g^{\prime}(z) \mathrm{d} z$$

Integrationsregeln im Überblick

Potenzen:
$\quad \int x^{n} d x =\frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text { mit } n \neq-1$
$\quad \int \frac{1}{x} dx =\ln |x|$
 
Gebrochenrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x$
$\quad \int \frac{d x}{1-x^{2}}=\operatorname{artanh} x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} \quad \text{ mit } |x| \leq 1$
 
Exponentialfunktionen:
$\quad \int e^{x} d x=e^{x}$
$\quad \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}$
 
Irrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}} \ \ \ \ =\arcsin x$
$-\int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} =\arccos x$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} \ \ \ \ =\operatorname{arsinh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}+1})$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}} \ \ \ \ =\operatorname{arcosh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})$
 
Trigonometrische Funktionen:
$\quad \int \sin x \ d x \ =-\cos x$
$\quad \int \cos x \ d x=\sin x$
$\quad \int \tan x \ d x=-\ln |\cos x|$
$\quad \int \cot x \ d x=\ln |\sin x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cos ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tan x$
$\quad \int \frac{d x}{\sin ^{2} x} \ \ \ \ \ =-\cot x$
 
Hyperbelfunktionen:
$\quad \int \sinh x \ d x=\cosh x$
$\quad \int \cosh x \ d x=\sinh x$
$\quad \int \tanh x \ d x=\ln \cosh x$
$\quad \int \operatorname{coth} x \ d x=\ln |\sinh x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cosh ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tanh x$
$\quad \int \frac{d x}{\sinh ^{2} x} \ \ \ \ \ \ =-\operatorname{coth} x$

Liste wichtiger Grundintegrale

Die partielle Integration wird verwendet, um eine Funktion zu integrieren, die aus zwei (oder mehreren) Faktoren besteht. Ziel ist es die ursprüngliche Funktion so umzuformen, dass eine neue Funktion entsteht, die einfacher zu Integrieren ist.

Partielle Integration

Bei dieser Integrationsmethode lernst du, Terme in einem Integral durch andere zu ersetzen (Substitution) und so eine schwierige Aufgabe lösbar zu machen.

Integrieren durch Substitution

Die Partialbruchzerlegung kommt insbesondere bei der Integration von rationalen Funktionen zur Anwendung. Man "zerlegt" das vorlegende Integral in einfache Teilbrüche und kann anschließend mit bekannten Integrationsmitteln weiter machen.

Integration mittels Partialbruchzerlegung

Durch Integrieren der Funktion $f(x)$ erhälst du die Stammfunktion $F(x)$. Diese Stammfunktion bildet die Grundlage der Integralrechnung und dient insbesondere dazu die Fläche unter einer Funktion berechnen zu können. Integrieren kann als Umkehrung vom Ableiten aufgefasst werde.

Integrieren

Durch Integrieren der Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.299ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1900 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-28-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path 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Diese Stammfunktion bildet die Grundlage der Integralrechnung und dient insbesondere dazu die Fläche unter einer Funktion berechnen zu können. Integrieren kann als Umkehrung vom Ableiten aufgefasst werde.