Max Academy

Beweise per vollständiger Induktion, für welche mit gilt:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

1. Induktionsanfang:

Für gilt:

Da gilt diese Gleichung und somit ist die kleinste natürliche Zahl, für die die Aussage stimmt.

2. Induktionsvoraussetzung (IV):

Es existiert ein mit so, dass gilt:

3. Induktionsbehauptung und Induktionsschluss:

Induktionsbehauptung:

Induktionsschluss:

Forme zunächst die linke Seite so um, dass du die Induktionsvoraussetzung nutzen kannst:

Benutze, dass gilt und schreibe deinen Ausdruck als Summe:

Führe nun eine Äquivalenzumformung mit der umgeschriebenen Induktionsbehauptung durch. Prüfe anschließend für welche die Aussage gilt:

Die Aussage gilt für

Treffe eine finale Aussage darüber wann die Ungleichung aus der Aufgabenstellung insgesamt gilt:

Da die Ungleichung für und gilt, ist mit Schritt 1,2 und 3 bewiesen, dass die Aussage für alle erfüllt ist.