Eindimensionale Analysis

Untervektorraum prüfen

Räumliche Balken

Basis

Platzhalter

Physik

Physik für Maschinenbau

Harmonische Schwingung

Platzspalter

Kapitel

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis $\{a_1, \ldots a_n\}$ eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ mit Skalarprodukt eine Orthonormalbasis zu konstruieren. 

Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\{a_1, \ldots a_n\}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.677ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4719.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-44-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 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Gauß'sches Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung

Neues Thema 4

Aufgabenstellung

Neues Thema 5

Der Laplace'sche Entwicklungssatz

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

Grundlagen (Gleichstrom)

Gaußverfahren

Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenraum

Ladung, Strom, Stromdichte, Spannung

Neues Thema 3

Einfache Integrale lassen sich ohne komplizierte "Tricks" integrieren, indem man auf allgemeine Integrationsregeln und bekannte Grundintegrale zurückgreift.

Einfache Integrale

Strömungsgeschwindigkeit von Elektronen

Neues Thema 2

Neues Thema

Hier lernst du wie man Umkehrfunktionen berechnet.

Umkehrfunktion bilden

Gauß-Jordan-Algorithmus

Energie, Leistung, Wirkungsgrad

Regel von Sarrus (3x3)

Das elektrische Feld

In diesem Kapitel werden grundlegende Begriffe zur Matrizenrechnung eingeführt und Grundrechentechniken vermittelt..

Matrizenrechnung - Grundlagen

Elektrische Feldgrößen 

Eine der wichtigsten Grundlagen bei der Rechnung mit Matrizen besteht in der Anwendung von Grundoperationen (Addition und Multiplikation). Wann diese Operationen möglich sind und wie du sie durchführst lernst du hier.

Addition und Multiplikation

Operationsverstärker

Maximum)

Widerstand

Verbindung von Zweipolen

Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes

Spezifischer Widerstand und Leitfähigkeit

Superpositionsprinzip

Hoch- und Tiefpunkte sind bei der Betrachtung von Funktionen wichtige Bestandteile und finden auch bei reellen Problemen eine Anwendung. Wenn z. B. die Temperaturkurve eines Jahres aufgezeichnet wird, so kann mit Hilfe von Hoch- und Tiefpunkt der jeweils heißesten bzw. kältesten Tag ermittelt werden.

Lokale und global Extrema

Regel von L`Hospital

Lineare Quellen

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion $f$, die auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ stetig ist, jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ annimmt.  Dieser Satz kann dir z.B. helfen, die Existenz einer Nullstelle nachzuweisen.

Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-22-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 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Dieser Satz kann dir z.B. helfen, die Existenz einer Nullstelle nachzuweisen.

Zweipole

Trainingsaufgaben

Gleichstromtechnik

Netzwerkberechnung

Winkel, Länge, Fläche, Volumen von Vektoren

Kirchhoffschen Gesetze

Technische Mechanik

Statik

Maschenstromverfahren

Elektrotechnik

Widerstandsnetzwerke

Beweisaufgabe

Wann eine Potenzreihe konvergiert bzw. divergiert wird über den Konvergenzradius der Reihe angegeben. Wie du diesen Radius bestimmst und zusammen mit dem Ausdruck $(x-x_{0})^{n}$ interpretierst erfährst du in diesem Kapitel.

Konvergenzradius bestimmen

Wann eine Potenzreihe konvergiert bzw. divergiert wird über den Konvergenzradius der Reihe angegeben. Wie du diesen Radius bestimmst und zusammen mit dem Ausdruck <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(x-x_{0})^{n}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.1ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4022.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-35-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-35-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-35-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1183.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2183.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3159, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> interpretierst erfährst du in diesem Kapitel.

Produkt- und Quotientenräume

Reihenschaltung, Parallelschaltung

Unbekannte Kräfte ermitteln (Gleichgewicht)

Die meisten Gleichungen besitzen eine oder mehrere Lösungen. Wie du diese Lösungen (Lösungsmenge) bestimmst lernst du hier.

Gleichungen

Lineare DGL

Hier lernst du wie du Flächen zwischen verschiedenen Graphen oder Graphen und Koordinatenachsen bestimmst. Insbesondere das aufstellen eines passenden Integrals und die Wahl der Integrationsgrenzen sind von Bedeutung.

Flächenberechnung

Stromteiler, Spannungsteiler

Vektorbündel

Dreieck-Stern, Stern-Dreieck Umwandlung

Leistungsanpassung (Arbeitspunkt)

Bei quadratischen Funktionen ist die höchste Potenz  2. Um ihre Nullstellen zu berechnen, kann die PQ-Formel angewendet werden.

Quadratische Funktionen (pq-Formel)

Zusätzlich zum direkten Beweis, ist es auch möglich den Wahrheitsgehalt einer Aussage über den indirekten Beweis zu führen. Dazu wird die Negation der Aussage gebildet und anschließend auf ihren Wahrheitsgehalt geprüft.

Gegenbeweis

Reale Quellen (Innenwiderstand)

Ersatzstromquelle, Ersatzspannungsquelle

Nichtlineare Gleichstromkreise (Dioden) 

Trennung der Variablen (Separation)

Kompakt oder nicht?

<p>Als Ergebnis erhältst du:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>\operatorname{kern}(A) &amp;= \left\langle\left(\begin{array}{c}</p>
<p>-1 \\</p>
<p>9 \\</p>
<p>23 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>26</p>
<p>\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}</p>
<p>-11 \\</p>
<p>21 \\</p>
<p>45 \\</p>
<p>26 \\</p>
<p>0</p>
<p>\end{array}\right)\right\rangle \\</p>
<p>\operatorname{def}(A)&amp;=2\end{align*}</p>

<p>Als Ergebnis erhältst du:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\operatorname{kern}(A) &= \left\langle\left(\begin{array}{c}
-1 \\
9 \\
23 \\
0 \\
26
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-11 \\
21 \\
45 \\
26 \\
0
\end{array}\right)\right\rangle \\
\operatorname{def}(A)&=2\end{align*}" style="vertical-align: -8.371ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="30.304ex" height="17.873ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -4200 13394.2 7900" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7497-TEX-N-6B" d="M36 46H50Q89 46 97 60V68Q97 77 97 91T97 124T98 167T98 217T98 272T98 329Q98 366 98 407T98 482T98 542T97 586T97 603Q94 622 83 628T38 637H20V660Q20 683 22 683L32 684Q42 685 61 686T98 688Q115 689 135 690T165 693T176 694H179V463L180 233L240 287Q300 341 304 347Q310 356 310 364Q310 383 289 385H284V431H293Q308 428 412 428Q475 428 484 431H489V385H476Q407 380 360 341Q286 278 286 274Q286 273 349 181T420 79Q434 60 451 53T500 46H511V0H505Q496 3 418 3Q322 3 307 0H299V46H306Q330 48 330 65Q330 72 326 79Q323 84 276 153T228 222L176 176V120V84Q176 65 178 59T189 49Q210 46 238 46H254V0H246Q231 3 137 3T28 0H20V46H36Z"></path><path id="MJX-7497-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 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transform="translate(2309, 0)"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3059, 0)"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3448, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-S4-27E8"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(806, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-S4-239B" transform="translate(0, 2396)"></use><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-S4-239D" transform="translate(0, -2406)"></use><svg width="875" height="3182" y="-1341" x="0" viewBox="0 718.5 875 3182"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-S4-239C" transform="scale(1, 7.698)"></use></svg></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(875, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 2800)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 1400)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-39"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 0)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(139, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-32"></use><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-33" transform="translate(500, 0)"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1400)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -2800)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(139, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-32"></use><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-36" transform="translate(500, 0)"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2153, 0)"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-S4-239E" transform="translate(0, 2396)"></use><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-S4-23A0" transform="translate(0, -2406)"></use><svg width="875" height="3182" y="-1341" x="0" viewBox="0 718.5 875 3182"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-S4-239F" transform="scale(1, 7.698)"></use></svg></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3834, 0)"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(4278.7, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-S4-239B" transform="translate(0, 2396)"></use><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-S4-239D" transform="translate(0, -2406)"></use><svg width="875" height="3182" y="-1341" x="0" viewBox="0 718.5 875 3182"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-S4-239C" transform="scale(1, 7.698)"></use></svg></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(875, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 2800)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-31"></use><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-31" transform="translate(500, 0)"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 1400)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-32"></use><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-31" transform="translate(500, 0)"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 0)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-34"></use><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-35" transform="translate(500, 0)"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1400)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-32"></use><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-36" transform="translate(500, 0)"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -2800)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(639, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-30"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2653, 0)"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-S4-239E" transform="translate(0, 2396)"></use><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-S4-23A0" transform="translate(0, -2406)"></use><svg width="875" height="3182" y="-1341" x="0" viewBox="0 718.5 875 3182"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-S4-239F" transform="scale(1, 7.698)"></use></svg></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7806.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-S4-27E9"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -3450)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(548, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-64"></use><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-65" transform="translate(556, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-66" transform="translate(1000, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1372, 0)"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1372, 0)"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1761, 0)"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2511, 0)"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3448, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-7497-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Es gilt $\operatorname{kern}(A)=\left\{v \in \mathbb{R}^{5} | A v=0\right\}$</p>


<p>Bestimme die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems $A v=0$ mittels Gaußverfahren:</p>


<p>Bestimme die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A v=0" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.942ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 3068.6 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7484-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-7484-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-7484-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-7484-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7484-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(750, 0)"><use xlink:href="#MJX-7484-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1512.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-7484-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2568.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-7484-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mittels Gaußverfahren:</p>


<p></p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>\quad \quad \quad \; \ \left(\begin{array}{ccccc|c}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; -3 &amp; 4 &amp; 2 &amp; 0 \\</p>
<p>1 &amp; 3 &amp; 0 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 0 \\</p>
<p>1 &amp; -5 &amp; 2 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Bringe den Ausdruck in die Zeilenstufenform:</p>


<p>\begin{align*} \</p>
<p>\overset{</p>
<p>\begin{array}{c}</p>
<p>Z_2-Z_1 \\</p>
<p>Z_3-Z_1</p>
<p>\end{array}</p>
<p>}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccccc|c}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; -3 &amp; 4 &amp; 2 &amp; 0 \\</p>
<p>0 &amp; 1 &amp; 3 &amp; -6 &amp; -3 &amp; 0 \\</p>
<p>0 &amp; -7 &amp; 5 &amp; -3 &amp; -2 &amp; 0 </p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\overset{Z_3 + 7\cdot Z_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccccc|c}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; -3 &amp; 4 &amp; 2 &amp; 0 \\</p>
<p>0 &amp; 1 &amp; 3 &amp; -6 &amp; -3 &amp; 0 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 26 &amp; -45 &amp; -23 &amp; 0</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}</p>


<p>Finde Ausdrücke für $v_1, v_2, v_3, v_4, v_5$ durch Einführen von Parametern und anschließendem Lösen des Gleichungssystems.</p>


<p>Finde Ausdrücke für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="v_1, v_2, v_3, v_4, v_5" style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.076ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 6221.4 637" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7488-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-7488-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 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xlink:href="#MJX-7488-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(485, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-7488-TEX-N-35"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> durch Einführen von Parametern und anschließendem Lösen des Gleichungssystems.</p>


<p>Setze z.B. $v_{5}=s, \ v_{4}= t$ mit $s,t \in \mathbb{R}$.</p>
<p>Aus den Gleichungen folgt nun für $v_3, v_2, v_1$:</p>


<p>Setze z.B. <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="v_{5}=s, \ v_{4}= t" style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.504ex" height="1.855ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 5968.9 820" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7489-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-7489-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 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transform="translate(3135.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-7489-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3385.8, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7489-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(485, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7489-TEX-N-34"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4552.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-7489-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5607.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-7489-TEX-I-1D461"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="s,t \in \mathbb{R}" style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.283ex" height="1.984ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 3219.2 877" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7490-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path id="MJX-7490-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-7490-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-7490-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-7490-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7490-TEX-I-1D460"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(469, 0)"><use xlink:href="#MJX-7490-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(913.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-7490-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1552.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-7490-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2497.2, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7490-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>
<p>Aus den Gleichungen folgt nun für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="v_3, v_2, v_1" style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.043ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 3555 637" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7491-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-7491-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-7491-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-7491-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-7491-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7491-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(485, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-7491-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(888.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-7491-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1333.2, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7491-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(485, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-7491-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2221.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-7491-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2666.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7491-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(485, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-7491-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\Rightarrow v_{3}&amp;=\frac{45}{26} t+\frac{23}{26} s \\</p>
<p>\Rightarrow v_{2}&amp;=\frac{21}{26} t+\frac{9}{26} s \\</p>
<p>\Rightarrow v_{1}&amp;=-\frac{11}{26} t-\frac{1}{26} s</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Schreibe den Kern von $A$ (Lösungsmenge) auf:</p>


<p>Schreibe den Kern von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7493-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7493-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> (Lösungsmenge) auf:</p>


<p>\begin{align*}\operatorname{kern}(A)&amp;= \left\{v \in \mathbb{R}^{4} \bigg| v=\frac{s}{26}\left(\begin{array}{c}</p>
<p>-1 \\</p>
<p>9 \\</p>
<p>23 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>26</p>
<p>\end{array}\right)+\frac{t}{26}\left(\begin{array}{c}</p>
<p>-11 \\</p>
<p>21 \\</p>
<p>45 \\</p>
<p>26 \\</p>
<p>0</p>
<p>\end{array}\right), s, t \in \mathbb{R}\right\} \\</p>
<p>&amp;=\left\langle\left(\begin{array}{c}</p>
<p>-1 \\</p>
<p>9 \\</p>
<p>23 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>26</p>
<p>\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}</p>
<p>-11 \\</p>
<p>21 \\</p>
<p>45 \\</p>
<p>26 \\</p>
<p>0</p>
<p>\end{array}\right)\right\rangle \end{align*}</p>


<p>Gib den Defekt von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7495-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7495-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> an:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\operatorname{def}(A)=\operatorname{dim}(\operatorname{kern}(A))=2\end{align*}</p>

<p>Berechne den Kern und Defekt der folgenden Matrix.</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}A=\left(\begin{array}{ccccc}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; -3 &amp; 4 &amp; 2 \\</p>
<p>1 &amp; 3 &amp; 0 &amp; -2 &amp; -1 \\</p>
<p>1 &amp; -5 &amp; 2 &amp; 1 &amp; 0</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}</p>

<p>Berechne den Kern und Defekt der folgenden Matrix.</p>
<p></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & -3 & 4 & 2 \\
1 & 3 & 0 & -2 & -1 \\
1 & -5 & 2 & 1 & 0
\end{array}\right)\end{align*}" style="vertical-align: -3.733ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="30.42ex" height="8.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2150 13445.6 3800" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7482-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-7482-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-7482-TEX-S4-239B" d="M837 1154Q843 1148 843 1145Q843 1141 818 1106T753 1002T667 841T574 604T494 299Q417 -84 417 -609Q417 -641 416 -647T411 -654Q409 -655 366 -655Q299 -655 297 -654Q292 -652 292 -643T291 -583Q293 -400 304 -242T347 110T432 470T574 813T785 1136Q787 1139 790 1142T794 1147T796 1150T799 1152T802 1153T807 1154T813 1154H819H837Z"></path><path id="MJX-7482-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-7482-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 -9T388 -10T354 -10Q300 -10 297 -9Q294 -8 293 -5Q291 5 291 127V300Q291 602 292 605L296 609Q298 610 366 610Q382 610 392 610T407 610T412 609Q416 609 416 592T417 473V127Q417 -9 413 -9Z"></path><path id="MJX-7482-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-7482-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-7482-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-7482-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-7482-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-7482-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-7482-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-7482-TEX-S4-239E" d="M31 1143Q31 1154 49 1154H59Q72 1154 75 1152T89 1136Q190 1013 269 873T401 585T489 294T544 -8T572 -299T583 -583Q583 -634 583 -643T577 -654Q575 -655 508 -655Q465 -655 463 -654Q459 -653 458 -647T457 -609Q457 -58 371 340T100 1037Q87 1059 61 1098T31 1143Z"></path><path id="MJX-7482-TEX-S4-23A0" d="M56 -644H50Q31 -644 31 -635Q31 -632 37 -622Q69 -579 100 -527Q286 -228 371 170T457 1119Q457 1161 462 1164Q464 1165 520 1165Q575 1165 577 1164Q582 1162 582 1153T583 1093Q581 910 570 752T527 400T442 40T300 -303T89 -626Q78 -640 75 -642T61 -644H56Z"></path><path id="MJX-7482-TEX-S4-239F" d="M579 -9Q578 -9 573 -9T554 -10T520 -10Q466 -10 463 -9Q460 -8 459 -5Q457 5 457 127V300Q457 602 458 605L462 609Q464 610 532 610Q548 610 558 610T573 610T578 609Q582 609 582 592T583 473V127Q583 -9 579 -9Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2083.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-S4-239B" transform="translate(0, 996)"></use><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-S4-239D" transform="translate(0, -1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-S4-239C" transform="scale(1, 0.924)"></use></svg></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(875, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 1400)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1889, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3778, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6445, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-34"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8723, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1889, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4167, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6056, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8334, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1400)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-35"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4167, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6445, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8723, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-N-30"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10487, 0)"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-S4-239E" transform="translate(0, 996)"></use><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-S4-23A0" transform="translate(0, -1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use xlink:href="#MJX-7482-TEX-S4-239F" transform="scale(1, 0.924)"></use></svg></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

Der Kern einer Matrix ist die Menge aller Vektoren, welche bei einer Multiplikation mit ihr zu Null werden. Der Defekt gibt weiter an, aus wie vielen linear unabhängigen Vektoren dein Kern besteht.

Kern und Defekt

<ol>
<li>Stelle das Gleichungssystem $A \cdot v = 0$ auf:<br />
<p>\begin{align*} \quad \left(\begin{array}{cccc}</p>
<p>a_{11} &amp; a_{12} &amp; \cdots &amp; a_{1 n} \\</p>
<p>a_{21} &amp; a_{22} &amp; \cdots &amp; a_{2 n} \\</p>
<p>\vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\</p>
<p>a_{m 1} &amp; a_{m 2} &amp; \cdots &amp; a_{m n}</p>
<p>\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}</p>
<p>v_{1} \\</p>
<p>v_{2} \\</p>
<p>\vdots \\</p>
<p>v_{n}</p>
<p>\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>0 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>\vdots \\</p>
<p>0</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}<br /><br /></p>
</li>
<li>
<p>Löse das Gleichungssystem mittels Gaußverfahren., indem du das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform bringst und Parameter einführst. <br />Die Lösungen kannst du als Menge oder Spann aufschreiben, z.B.: </p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>\begin{aligned}</p>
<p>\quad \Rightarrow \operatorname{kern}(A) &amp;=\left\{v \in \mathbb{R}^{2} | v=s\left(\begin{array}{c}</p>
<p>-3 \\</p>
<p>2</p>
<p>\end{array}\right), s \in \mathbb{R}\right\} \\</p>
<p>&amp;=\left\langle\left(\begin{array}{c}</p>
<p>-3 \\</p>
<p>2</p>
<p>\end{array}\right)\right\rangle</p>
<p>\end{aligned}\end{align*}<br /><br /></p>
</li>
<li>
<p>Falls zusätzlich nach dem Defekt der Matrix gefragt ist, so nutze aus, dass dieser der Dimension des Kerns (Anzahl der Spaltenvektoren) entspricht. <br />$\quad \Rightarrow \operatorname{def}(A)=\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(A))$</p>
</li>
</ol>

Kern einer Matrix berechnen

Das Transponieren einer Matrix ist ein weiteres Grundwerkzeug zum Rechnen mit Matrizen. Viele Operationen kannst du mit der Bildung der transponierten Matrix vertauschen oder vereinfachen.

Transponieren

Den Rang einer Matrix berechnen zu können bietet die Grundlage für die Untersuchung der linearen Unabhängigkeit von Vektoren. Darüber hinaus können mit ihm Aussagen über die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen getroffen werden.

Rang

Die Menge an Lösungen die man erhält wenn man eine Matrix mit jedem beliebigen Vektor $x$ multipliziert, wird als Bild der Matrix bezeichnet. Somit ist das Bild mehr oder weniger die Wertemenge einer Matrix.

Bild

Die Menge an Lösungen die man erhält wenn man eine Matrix mit jedem beliebigen Vektor <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-30-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> multipliziert, wird als Bild der Matrix bezeichnet. Somit ist das Bild mehr oder weniger die Wertemenge einer Matrix.