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Untersuche die Funktionn

 

 in Bezug auf die

1. Existenz der partiellen Ableitungen

2. Existenz der Richtungsableitung in Richtung

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1. Existenz der partiellen Ableitungen:

Im Bereich von für

ist aus Polynomen zusammensetzt, welche partiell differenzierbare Funktionen sind. Daher ist auch für partiell differenzierbar.

Im Bereich von für

Bilde den Differentialquotient in Richtung:

Der Grenzwert existiert. Somit existiert die partielle Ableitung in Richtung.

Bilde den Differentialquotient in Richtung:

Der Grenzwert existiert. Somit existiert die partielle Ableitung auch in Richtung und ist im partiell differenzierbar.

2. Existenz der Richtungsableitungen:

Die Richtungsableitung der Funktion im Punkt in Richtung von existiert, wenn der folgende Grenzwert existiert:

Im Bereich von für

ist aus Polynomen zusammensetzt, für welche die Richtungsableitung existiert. Daher besitzt auch für eine Richtungsableitung.

Im Bereich von für , bilde den Grenzwert:

Nutze das Additionstheorem:

Der Grenzwert existiert und somit auch die Richtungsableitung in Richtung im Punkt mit dem Wert

1. ist im partiell differenzierbar.

2. Die Richtungsableitung in Richtung im Punkt existiert.