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Untersuche die Funktion

in Bezug auf die

1. Existenz der partiellen Ableitungen

2. Existenz der Richtungsableitung in Richtung

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1. Existenz der partiellen Ableitungen:

Im Bereich von für

ist aus Funktionen zusammensetzt, welche partiell differenzierbare Funktionen sind. Daher ist auch für partiel differenzierbar.

Im Bereich von für

Bilde den Differentialquotient in Richtung:

Achtung: dieser Grenzwert ist von der Form . Benutze Satz von l'Hospital:

Achtung: dieser Grenzwert ist von der Form . Benutze Satz von l'Hospital:

Der Grenzwert existiert. Somit existiert die partielle Ableitung in Richtung.

Bilde den Differentialquotient in Richtung:

Die Funktion ist symmetrisch, da die Variablen und vertauscht werden können:

Somit ist die Rechnung analog und auch die partielle Ableitung nach existiert:

Es existieren die partiellen Ableitungen von in .

2. Existenz der Richtungsableitungen:

Die Richtungsableitung der Funktion im Punkt in Richtung von , existiert, wenn der folgende Grenzwert existiert:

Im Bereich von für

ist aus Polynomen zusammensetzt, für welche die Richtungsableitung existiert. Daher besitzt auch fur eine Richtungsableitung.

Im Bereich von für bilde den Grenzwert:

Achtung: dieser Grenzwert ist von der Form . Benutze Satz von l'Hospital:

Achtung: dieser Grenzwert ist von der Form . Benutze Satz von l'Hospital:

Der Grenzwert existiert also.

1. ist im partiell differenzierbar.

2. Die Richtungsableitung in Richtung im Punkt (0,0) mit dem Wert 0 existiert.