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An welchen Stellen besitzt lokale oder globale Extremstellen (bzw. Sattelpunkte)? 

Unterscheide

Berechne die Extremwerte.

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Schritt der Lösung anzuzeigen.

Untersuche zuerst den Fall :

Finde die kritischen Punkte:

Bestimme die Nullstellen der partiellen Ableitungen.

Mit zwei Variablen gilt als hinreichende Bedingung für lokale Extremwerte:

(a) Ist und

so besitzt ein striktes lokales Minimum in

(b) Ist und

so besitzt ein striktes lokales Maximum in

(c) Ist

so besitzt einen Sattelpunkt in

Falls keiner der Fälle erfüllt ist, muss die Umgebung der kritischen Punkte untersucht werden um eine Aussage zu treffen um was für einen Punkt es sich handelt.

Berechne also:

Die hinreichende Bedingung ist nicht erfüllt. Somit muss die Umgebung der kritischen Punkte untersucht werden.

Für ist

Was gilt in unmittelbarer Umgebung von für ?

Daraus folgt, dass ein Sattelpunkt sein muss.

Existieren globale Extrema?

Somit existiert kein globales Maximum oder Minimum. 

Untersuche den Fall :

Finde die kritischen Punkte:

Bestimme die Nullstellen der partiellen Ableitungen.

Prüfe eine hinreichende Bedingung:

Setze die Kandidaten jeweils ein:

für

Dieser Punkt ist also ein Sattelpunkt.

Für gilt:

Fallunterscheidung:

Wenn für ist der Punkt ein lokales Minimum. 

Wenn für ist der Punkt ein lokales Maximum.

Globale Maxima:

Globale Maxima existieren auch hier nicht.

Für gibt es weder globale noch lokale Maxima. Aber einen Sattelpunkt in .

Für gibt es in einen Sattelpunkt in und in gibt es für ein Minimum und für ein Maximum.