Max Academy

Bestimme die (lokalen) Extrema folgender Funktion :

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

Finde die kritischen Stellen

Bestimme die Nullstellen des Gradienten:

Setze die Einträge des Gradienten gleich Null und löse das Gleichungssystem:

Die Nenner fallen weg:

Aus der unteren Gleichung folgt für und :

oder

Fall einsetzen:

Dies ist ein Widerspruch in den reellen Zahlen. Wäre auch für definiert, gäbe es eine Lösung.

Somit existiert hier für keine Lösung.

Fall einsetzen:

Daraus ergeben sich zwei kritische Punkte:

und

Bestimme die Hesse-Matrix und setze die kritischen Stellen ein:

Setze in die einzelnen Einträge ein:

Daraus ergibt sich die Hesse-Matrix im Punkt 1:

Bestimme die Definitheit dieser Matrix:

Die Eigenwerte können direkt abgelesen werden:

Beide sind positiv. Somit ist die Matrix positiv definit und der Punkt ein Minimum von .

Setze in die einzelnen Einträge ein:

Daraus ergibt sich die Hesse-Matrix im Punkt 2:

Bestimme die Definitheit dieser Matrix:

Die Eigenwerte können direkt abgelesen werden:

Beide Eigenwerte sind negativ. Somit ist die Matrix negativ definit und hat ein Maximum im Punkt .

Die Funktion hat ein Minimum in und ein Maximum in