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Bestimme die Lösungen folgender Extremwertaufgabe

unter der Nebenbedingung:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

Verwende das Lösungsverfahren (Optimierungsverfahren) von Lagrange.

Stelle die Nebenbedingung nach Null um:

Stelle die Hilfsfunktion auf:

Multipliziere die Nebenbedingung mit und addiere diese zu deiner Funktion.

Bestimme die Extremstellen von :

Berechne die partiellen Ableitungen.

Dies sind die Einträge des Gradienten von . Setze jeden Eintrag gleich Null und löse das Gleichungssystem:

Stelle die erste Gleichung des Systems nach um:

Stelle die zweite Gleichung des Systems nach um:

Setze beides in die dritte Gleichung ein und bestimme :

Bestimme und für :

Die erste Extremstelle ist somit:

Bestimme und für :

Es drehen sich lediglich die Vorzeichen um weil und nirgendwo quadriert wird.

Bestimme Art der Extremstellen:

Die Hesse-Matrix der Hilfsfunktion darf nur bestimmt werden, wenn die Nebenbedingung nur lineare Terme besitzt. Das ist hier nicht der Fall.

Bestimme also die Definitheit der Hesse-Matrix der Hilfsfunktion mit eingesetztem .

Für ergibt sich:

Diese Matrix ist negativ definit (beide Eigenwerte sind gleich und negativ). Daraus folgt, dass ein Maximum vorliegt im Punkt:

Für ergibt sich:

Diese Matrix ist positiv definit (beide Eigenwerte sind gleich und positiv). Daraus folgt, dass ein Minimum vorliegt im Punkt:

Die Funktion hat unter der Nebenbedingung ein Maximum im Punkt

liegt ein Minimum vor