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Untersuche, ob die Funktion

1. im Punkt

2. im Punkt

lokal umkehrbar ist.

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

Nch dem Satz über die Umkehrabbildung (inverse Funktion), ist lokal umkehrbar in einer kleinen Umgebung von , wenn die Determinante der Jakobi-Matrix im Punkt ungleich null ist: .

Bestimme die Jakobi-Matrix:

Mit: folgt:

Bestimme die Determinante

Setze den ersten Punkt ein:

Somit ist im Punkt lokal umkehrbar.

Hinweis:

z. B. kann für eine hinreichend kleine Umgebung von (1,1) eine eineindeutige Auflösung leicht angegeben werden:

Dies funktioniert hier, da die Wurzeln keine zwei Lösungen produzieren, da wir in einer kleinen Umgebung von nur positive Werte haben.

Setze den zweiten Punkt ein:

Der Satz über die Umkehrabbildung kann hier keine Aussage treffen.

Wähle zwei Punkte in einer kleinen Umgebung von und schaue dir die Funktionswerte an:

Die beiden Punkte bilden auf den gleichen Funktionswert ab:

Dies ist ein Widerspruch zu der Existenz einer eindeutigen Umkehrabbildung.

Somit ist im Punkt nicht lokal umkehrbar.

ist im Punkt lokal umkehrbar, aber nicht im Punkt .