Max Academy

Gegeben sei die Funktion mit

Zeige mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass genau einen Fixpunkt im Intervall besitzt.

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

Daraus ergibt sich das Fixpunktproblem:

Prüfe die Voraussetungen für den Banachschen Fixpunktsatz:

Haben wir hier einen Banachraum?

Der Raum ist ein Banachraum.

Ist das Intervall abgeschlossen?

Die Menge ist abgeschlossen

Selbstabbildung:

schätze nach oben ab:

Somit ist monoton steigend auf [0,1]

Berechne die Funktionswerte an den Grenzen:

Somit gilt mit der Monotonie von

Kontraktivität:

Beachte hier: und die Monotonie der arctan-Funktion:

Somit sind alle Voraussetzungen für den Banachschen Fixpunktsatz erfüllt.

Insgesamt darf der Banachsche Fixpunktsatz angewendet werden und es gilt:

Jede Picard-Iteration konvergiert gegen den eindeutigen Fixpunkt: